14. Два шарика с массами 200 г и 100 г подвешены на нерастяжимых нитях одинаковой длины так, что они соприкасаются. Первый шарик отклоняют на угол 90° и отпускают. На какую максимальную высоту (в см) поднимутся шарики после абсолютно неупругого удара? 15. С горки высотой 2 м соскальзывает без трения тело массой 1 кг и сталкивается с неподвижным телом массой 3 кг на горизонтальной поверхности. Удар абсолютно упругий. На какую высоту (в см) поднимется первое тело, отскочив обратно на горку?

14. Дано: $$m_1 = 200 \text{ г} = 0.2 \text{ кг}$$, $$m_2 = 100 \text{ г} = 0.1 \text{ кг}$$, $$\alpha = 90^\circ$$. Найти: $$h - ?$$ Решение:

При отклонении первого шарика на 90 градусов, его высота $$h_1$$ относительно положения равновесия равна длине нити $$l$$.

Перед ударом первый шарик обладает потенциальной энергией $$E_п = m_1gl = m_1gh_1$$. Эта энергия переходит в кинетическую энергию непосредственно перед ударом $$E_к = \frac{m_1v_1^2}{2}$$.

По закону сохранения энергии:

$$m_1gh_1 = \frac{m_1v_1^2}{2}$$ $$v_1 = \sqrt{2gh_1} = \sqrt{2gl}$$

После абсолютно неупругого удара шарики движутся вместе как одно тело массой $$(m_1 + m_2)$$. Обозначим их общую скорость после удара как $$v$$.

По закону сохранения импульса:

$$m_1v_1 = (m_1 + m_2)v$$ $$v = \frac{m_1v_1}{m_1 + m_2} = \frac{m_1\sqrt{2gl}}{m_1 + m_2}$$

После удара шарики поднимутся на некоторую высоту $$h$$, где их кинетическая энергия перейдет в потенциальную энергию:

$$\frac{(m_1 + m_2)v^2}{2} = (m_1 + m_2)gh$$ $$h = \frac{v^2}{2g} = \frac{(\frac{m_1\sqrt{2gl}}{m_1 + m_2})^2}{2g} = \frac{m_1^2 \cdot 2gl}{2g(m_1 + m_2)^2} = \frac{m_1^2l}{(m_1 + m_2)^2}$$

Подставим значения:

$$h = \frac{(0.2 \text{ кг})^2l}{(0.2 \text{ кг} + 0.1 \text{ кг})^2} = \frac{0.04l}{0.09} = \frac{4}{9}l$$

Чтобы найти высоту в сантиметрах, нужно знать длину нити $$l$$. Предположим, что длина нити $$l = 1 \text{ м} = 100 \text{ см}$$. Тогда:

$$h = \frac{4}{9} \cdot 100 \text{ см} \approx 44.4 \text{ см}$$

Ответ: Максимальная высота, на которую поднимутся шарики после абсолютно неупругого удара, составляет примерно 44.4 см.

15. Дано: $$h_1 = 2 \text{ м}$$, $$m_1 = 1 \text{ кг}$$, $$m_2 = 3 \text{ кг}$$. Найти: $$h - ?$$ Решение:

Скорость первого тела перед ударом можно найти из закона сохранения энергии:

$$m_1gh_1 = \frac{m_1v_1^2}{2}$$ $$v_1 = \sqrt{2gh_1} = \sqrt{2 \cdot 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 2 \text{ м}} = \sqrt{39.2} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 6.26 \frac{\text{м}}{\text{с}}$$

После абсолютно упругого удара скорость первого тела $$v_1'$$ можно найти по формуле:

$$v_1' = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}v_1 = \frac{1 \text{ кг} - 3 \text{ кг}}{1 \text{ кг} + 3 \text{ кг}}v_1 = \frac{-2}{4}v_1 = -\frac{1}{2}v_1$$

Подставляем значение $$v_1$$:

$$v_1' = -\frac{1}{2} \cdot 6.26 \frac{\text{м}}{\text{с}} = -3.13 \frac{\text{м}}{\text{с}}$$

Знак минус указывает на то, что тело отскочило в обратном направлении.

Высоту, на которую поднимется первое тело после отскока, можно найти из закона сохранения энергии:

$$\frac{m_1(v_1')^2}{2} = m_1gh$$ $$h = \frac{(v_1')^2}{2g} = \frac{(-3.13 \frac{\text{м}}{\text{с}})^2}{2 \cdot 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}} = \frac{9.7969}{19.6} \text{ м} \approx 0.5 \text{ м}$$

Переведем в сантиметры:

$$h = 0.5 \text{ м} = 50 \text{ см}$$

Ответ: Первое тело поднимется на высоту 50 см.