Докажите параллельность плоскостей (АВС) и (MPN)

Для доказательства параллельности плоскостей $$(AB_1C)$$ и $$(MPN)$$ рассмотрим куб $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$. Пусть точки $$M$$, $$N$$ и $$P$$ лежат на ребрах $$AD$$, $$CD$$ и $$AA_1$$ соответственно, причем так, что $$AM = MD$$, $$DN = NC$$ и $$AP = PA_1$$.

Тогда плоскость $$(MPN)$$ пересекает ребро $$A_1B_1$$ в некоторой точке $$Q$$. Покажем, что $$A_1Q = QB_1$$.

Рассмотрим треугольники $$A_1PA$$ и $$MND$$.

Так как $$AP = PA_1$$, $$AM = MD$$ и $$DN = NC$$, то $$AP/AA_1 = 1/2$$, $$AM/AD = 1/2$$ и $$DN/DC = 1/2$$.

Проведем отрезок $$MN$$. Так как $$AM = MD$$ и $$DN = NC$$, то $$MN$$ является средней линией в прямоугольнике $$ABCD$$, а значит $$MN \parallel AC$$ и $$MN = AC/2$$.

Рассмотрим плоскость $$(AA_1C_1C)$$. Она содержит прямые $$AA_1$$ и $$CC_1$$. В этой плоскости проведем прямую $$PN$$. Она пересечет $$A_1C_1$$ в некоторой точке $$E$$.

В плоскости $$(A_1B_1C_1D_1)$$ проведем прямую $$ME$$. Она пересечет $$A_1B_1$$ в точке $$Q$$.

Так как $$MN \parallel AC$$, а $$AC \parallel A_1C_1$$, то $$MN \parallel A_1C_1$$. Значит, плоскость $$(MPN)$$ параллельна плоскости $$(AB_1C)$$.

Пусть $$K$$ - середина $$A_1D_1$$, а $$L$$ - середина $$D_1C_1$$. Тогда $$A_1K = KD_1 = DN = NC = C_1L = LD_1$$ и $$A_1K \parallel DN$$, $$C_1L \parallel AM$$.

Плоскость, проходящая через точки $$M$$, $$N$$ и $$P$$ параллельна плоскости $$(AB_1C)$$, так как она отсекает от ребер $$AA_1$$, $$AD$$ и $$DC$$ равные отрезки.

Следовательно, плоскости $$(AB_1C)$$ и $$(MPN)$$ параллельны, что и требовалось доказать.