Контрольные задания > 11. Длины векторов а и в равны соответственно 9 и 60, а их скалярное произведение равно 429. Найдите длину вектора с, если с = 2а + ⅓ b
Вопрос:

11. Длины векторов а и в равны соответственно 9 и 60, а их скалярное произведение равно 429. Найдите длину вектора с, если с = 2а + ⅓ b

Ответ:

  1. Обозначим векторы $$\vec{a}$$ и $$\vec{b}$$, их длины $$|\vec{a}| = 9$$ и $$|\vec{b}| = 60$$, а скалярное произведение $$(\vec{a}, \vec{b}) = 429$$. Нужно найти длину вектора $$\vec{c} = 2\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}$$
  2. Длина вектора $$\vec{c}$$ находится как $$|\vec{c}| = \sqrt{(\vec{c}, \vec{c})}$$. Выразим скалярный квадрат вектора $$\vec{c}$$ через векторы $$\vec{a}$$ и $$\vec{b}$$: $$(\vec{c}, \vec{c}) = (2\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}, 2\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}) = 4(\vec{a}, \vec{a}) + \frac{4}{3}(\vec{a}, \vec{b}) + \frac{1}{9}(\vec{b}, \vec{b})$$
  3. Используем, что $$(\vec{a}, \vec{a}) = |\vec{a}|^2$$ и $$(\vec{b}, \vec{b}) = |\vec{b}|^2$$: $$(\vec{c}, \vec{c}) = 4|\vec{a}|^2 + \frac{4}{3}(\vec{a}, \vec{b}) + \frac{1}{9}|\vec{b}|^2$$
  4. Подставим известные значения: $$(\vec{c}, \vec{c}) = 4 \cdot 9^2 + \frac{4}{3} \cdot 429 + \frac{1}{9} \cdot 60^2 = 4 \cdot 81 + \frac{4}{3} \cdot 429 + \frac{1}{9} \cdot 3600 = 324 + 572 + 400 = 1296$$
  5. Найдем длину вектора $$\vec{c}$$: $$|\vec{c}| = \sqrt{(\vec{c}, \vec{c})} = \sqrt{1296} = 36$$
Ответ: длина вектора $$\vec{c}$$ равна $$\bf{36}$$.
Смотреть решения всех заданий с листа