Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
10. Длины векторов а и б равны соответственно 4 и 30, а их скалярное произведение равно 120. Найдите длину вектора с, если с = а + (1/6)б
Ответ:
- Обозначим длину вектора $$\vec{a}$$ как $$|\vec{a}| = 4$$, длину вектора $$\vec{b}$$ как $$|\vec{b}| = 30$$, а их скалярное произведение как $$\vec{a} \cdot \vec{b} = 120$$.
- Вектор $$\vec{c}$$ задан как $$\vec{c} = \vec{a} + \frac{1}{6} \vec{b}$$. Нам нужно найти длину вектора $$\vec{c}$$, то есть $$|\vec{c}|$$.
- Выразим квадрат длины вектора $$\vec{c}$$ через скалярное произведение: $$|\vec{c}|^2 = \vec{c} \cdot \vec{c}$$. Подставим выражение для $$\vec{c}$$: $$|\vec{c}|^2 = (\vec{a} + \frac{1}{6} \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \frac{1}{6} \vec{b})$$.
- Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения: $$|\vec{c}|^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} + 2 \cdot \vec{a} \cdot (\frac{1}{6} \vec{b}) + \frac{1}{36} (\vec{b} \cdot \vec{b})$$.
- Упростим выражение, учитывая, что $$\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$$ и $$\vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2$$: $$|\vec{c}|^2 = |\vec{a}|^2 + \frac{1}{3} (\vec{a} \cdot \vec{b}) + \frac{1}{36} |\vec{b}|^2$$.
- Подставим известные значения: $$|\vec{c}|^2 = 4^2 + \frac{1}{3} \cdot 120 + \frac{1}{36} \cdot 30^2$$.
- Вычислим: $$|\vec{c}|^2 = 16 + 40 + \frac{900}{36} = 16 + 40 + 25 = 81$$.
- Найдем длину вектора $$\vec{c}$$: $$|\vec{c}| = \sqrt{81} = 9$$.
