Диаметр окружности, вписанной в ДАВС, равен 10. Найдите FC.

Пусть диаметр вписанной окружности равен 10, тогда радиус равен половине диаметра, то есть 5. Обозначим радиус вписанной окружности как r = 5.

На чертеже изображен треугольник ABC, в который вписана окружность. Точка F - это точка пересечения биссектрис углов A и C. Следовательно, AF и CF - биссектрисы углов A и C соответственно.

Отрезок KC равен 12.

Так как CF - биссектриса угла C, и углы при вершине C равны, то треугольник AFC - равнобедренный, и AF = FC. Но для того, чтобы найти FC, нужно знать больше информации о треугольнике ABC (например, является ли он прямоугольным или равносторонним).

Так как в условии сказано, что диаметр вписанной окружности равен 10, то, скорее всего, имеется в виду, что нужно найти FC, используя свойства вписанной окружности и биссектрис.

Если бы треугольник ABC был прямоугольным, то можно было бы использовать формулы для радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник. Но так как нет информации о том, что треугольник прямоугольный, то этот подход не подходит.

В данной задаче недостаточно данных для однозначного определения длины FC. Для решения задачи необходимо знать дополнительные углы или длины сторон.

Предположим, что треугольник ABC равнобедренный, и AK является высотой, медианой и биссектрисой. В таком случае, AK перпендикулярно BC, и точка K является серединой BC. Тогда BK = KC = 12.

Пусть F - точка пересечения биссектрис. В равнобедренном треугольнике биссектрисы, проведенные к боковым сторонам, равны. Тогда AF = CF.

Рассмотрим треугольник KFC. Если бы угол K был прямым, то мы могли бы использовать теорему Пифагора. Однако, из рисунка видно, что угол K не является прямым.

Предположим, что треугольник ABC прямоугольный и вписанная окружность касается стороны AC в точке D, стороны BC в точке E, стороны AB в точке G. Тогда FC можно найти, используя свойства касательных к окружности и теорему Пифагора, если известны другие стороны треугольника или углы.

Без дополнительной информации точное значение FC определить невозможно.

Я приношу свои извинения, но без дополнительных данных я не могу точно определить длину отрезка FC. Если бы были известны углы треугольника или дополнительные соотношения между сторонами, то задачу можно было бы решить.