8. Диагонали АС и BD трапеции ABCD с основаниями ВС и AD пересекаются в точке О, BC = 3, AD = 7, AC = 20. Найдите АО.

Рассмотрим треугольники $$BOC$$ и $$DOA$$. Они подобны по двум углам ($$\angle BOC = \angle DOA$$ как вертикальные, $$\angle OBC = \angle ODA$$ как накрест лежащие при параллельных прямых $$BC$$ и $$AD$$ и секущей $$BD$$). Из подобия следует, что $$\frac{BO}{OD} = \frac{CO}{OA} = \frac{BC}{AD} = \frac{3}{7}$$. Пусть $$CO = 3x$$, тогда $$OA = 7x$$. $$AC = CO + OA = 3x + 7x = 10x$$. $$10x = 20$$, следовательно, $$x = 2$$. $$AO = 7x = 7 \cdot 2 = 14$$. Ответ: 14