Д.3. 1) Дано: OD - биссектриса AO = 6 см, AD = 3 см OK = 8 см Найти: DK 2) Δ ABC ~ Δ A₁B₁C₁ Найти: AC, A₁B₁ 3) Дано: ABCD - трапеция BC = 16 см AD = 24 см AC = 10 см Найти: AO, OC 4) Дано: CD || AK AC = 5 см CD = 9 см AK = 12 см Найти: AO 5) Дано: AK = 20 см BK = 5 см Найти: AB

1) Рассмотрим треугольник AOK. OD - биссектриса угла AOK. По свойству биссектрисы треугольника, биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Значит: $$\frac{AD}{DK} = \frac{AO}{OK}$$ $$\frac{3}{DK} = \frac{6}{8}$$ $$DK = \frac{3 \cdot 8}{6} = 4$$ Ответ: DK = 4 см. 2) Дано, что треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны. Значит, соответствующие стороны пропорциональны: $$\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1}$$ Из рисунка видно, что AB = 6, BC = 5, A₁B₁ = 2.4, A₁C₁ = 15. Найдем AC и B₁C₁. $$\frac{6}{2.4} = \frac{5}{B_1C_1}$$ $$B_1C_1 = \frac{5 \cdot 2.4}{6} = 2$$ $$\frac{6}{2.4} = \frac{AC}{15}$$ $$AC = \frac{6 \cdot 15}{2.4} = 37.5$$ Ответ: AC = 37.5, A₁B₁ = 2. 3) Рассмотрим трапецию ABCD. AC = 10 см, BC = 16 см, AD = 24 см. Пусть AO = x, тогда OC = 10 - x. Треугольники BOC и AOD подобны по двум углам (∠BOC = ∠AOD как вертикальные, ∠BCO = ∠DAO как накрест лежащие при параллельных BC и AD и секущей AC). Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: $$\frac{BO}{OD} = \frac{OC}{OA} = \frac{BC}{AD}$$ $$\frac{OC}{AO} = \frac{16}{24}$$ $$\frac{10-x}{x} = \frac{2}{3}$$ $$3(10-x) = 2x$$ $$30 - 3x = 2x$$ $$5x = 30$$ $$x = 6$$ AO = 6 см, OC = 10 - 6 = 4 см. Ответ: AO = 6 см, OC = 4 см. 4) Рассмотрим треугольник AOK. CD || AK. Треугольники OCD и OAK подобны по двум углам (∠COD = ∠AOK как вертикальные, ∠OCD = ∠OAK как накрест лежащие при параллельных CD и AK и секущей AC). Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: $$\frac{OC}{OA} = \frac{OD}{OK} = \frac{CD}{AK}$$ $$\frac{OC}{OA} = \frac{5}{AO} = \frac{9}{12}$$ $$OA = \frac{5 \cdot 12}{9} = \frac{20}{3} = 6\frac{2}{3}$$ Ответ: AO = $$\frac{20}{3}$$ см = 6$$\frac{2}{3}$$ см. 5) По теореме о пересекающихся хордах, если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. В данном случае: $$AK \cdot KB = DK \cdot BC$$ $$20 \cdot 5 = x \cdot x$$ $$x^2 = 100$$ $$x = 10$$ AB = AK + KB = 20 + 5 = 25 см. Ответ: AB = 25 см.