1. Даны точки А(1; -2) и В(3; 6). Найдите координаты вектора AB 2. Найдите длину вектора АВ, если А(-7; 6), B(-1; 2). 3. Даны векторы а{-4; -3} и Б{20; -213. Найдите длины этих векторов. 4. Найти координаты середины отрезка MN, если М(-4;3), №(6;-7) 5. Найдите расстояние между точками М и №, т.е. длину отрезка MN, если М(6;-5), (3;-9) 6. Найдите медиану CD треугольника АВС, вершины которого имеют координаты: А(-1;2), В(5; -6), C(6; 4) 7. Докажите, что треугольник АВС равнобедренный, и найдите его площадь, если вершины треугольника имеют координаты А (0; 1), В (1; −4), C (5; 2).

1. Найдем координаты вектора $$\overrightarrow{AB}$$. $$\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A)$$
$$\overrightarrow{AB} = (3 - 1; 6 - (-2)) = (2; 8)$$.

Ответ: $$\overrightarrow{AB} = (2; 8)$$

2. Найдем длину вектора $$\overrightarrow{AB}$$. $$\overrightarrow{AB} = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$$
$$\overrightarrow{AB} = \sqrt{(-1 - (-7))^2 + (2 - 6)^2} = \sqrt{(6)^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$$.

Ответ: $$2\sqrt{13}$$

3. Найдем длины векторов $$\vec{a}\{-4; -3\}$$ и $$\vec{b}\{20; -21\}$$. Длина вектора $$\vec{a}$$ равна $$\sqrt{(-4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$$. Длина вектора $$\vec{b}$$ равна $$\sqrt{(20)^2 + (-21)^2} = \sqrt{400 + 441} = \sqrt{841} = 29$$.

Ответ: Длина вектора $$\vec{a}$$ равна 5, длина вектора $$\vec{b}$$ равна 29.

4. Найдем координаты середины отрезка $$MN$$, если $$M(-4;3)$$, $$N(6;-7)$$. Координаты середины отрезка $$MN$$ находятся по формуле: $$\left(\frac{x_M + x_N}{2}; \frac{y_M + y_N}{2}\right)$$. $$\left(\frac{-4 + 6}{2}; \frac{3 + (-7)}{2}\right) = \left(\frac{2}{2}; \frac{-4}{2}\right) = (1; -2)$$.

Ответ: Координаты середины отрезка $$MN$$ равны $$(1; -2)$$.

5. Найдем расстояние между точками $$M$$ и $$N$$, т.е. длину отрезка $$MN$$, если $$M(6;-5)$$, $$N(3;-9)$$. Длина отрезка $$MN$$ находится по формуле: $$\sqrt{(x_N - x_M)^2 + (y_N - y_M)^2}$$. $$\sqrt{(3 - 6)^2 + (-9 - (-5))^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$.

Ответ: Длина отрезка $$MN$$ равна 5.

6. Найдем медиану $$CD$$ треугольника $$ABC$$, вершины которого имеют координаты: $$A(-1;2)$$, $$B(5; -6)$$, $$C(6; 4)$$. Точка $$D$$ является серединой отрезка $$AB$$. Найдем координаты точки $$D$$: $$\left(\frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_B}{2}\right)$$. $$\left(\frac{-1 + 5}{2}; \frac{2 + (-6)}{2}\right) = \left(\frac{4}{2}; \frac{-4}{2}\right) = (2; -2)$$. Длина медианы $$CD$$ находится по формуле: $$\sqrt{(x_D - x_C)^2 + (y_D - y_C)^2}$$. $$\sqrt{(2 - 6)^2 + (-2 - 4)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-6)^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$$.

Ответ: Длина медианы $$CD$$ равна $$2\sqrt{13}$$.

7. Докажем, что треугольник $$ABC$$ равнобедренный, и найдите его площадь, если вершины треугольника имеют координаты $$A (0; 1)$$, $$B (1; -4)$$, $$C (5; 2)$$. Найдем длины сторон треугольника $$AB$$, $$BC$$, $$AC$$. $$AB = \sqrt{(1 - 0)^2 + (-4 - 1)^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26}$$. $$BC = \sqrt{(5 - 1)^2 + (2 - (-4))^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$$. $$AC = \sqrt{(5 - 0)^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}$$. Так как $$AB = AC$$, то треугольник $$ABC$$ равнобедренный. Найдем площадь треугольника $$ABC$$. Воспользуемся формулой Герона: $$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$$, где $$p = \frac{a + b + c}{2}$$ - полупериметр треугольника. $$p = \frac{\sqrt{26} + 2\sqrt{13} + \sqrt{26}}{2} = \frac{2\sqrt{26} + 2\sqrt{13}}{2} = \sqrt{26} + \sqrt{13}$$. $$S = \sqrt{(\sqrt{26} + \sqrt{13})(\sqrt{26} + \sqrt{13} - \sqrt{26})(\sqrt{26} + \sqrt{13} - 2\sqrt{13})(\sqrt{26} + \sqrt{13} - \sqrt{26})} = \sqrt{(\sqrt{26} + \sqrt{13})(\sqrt{13})(\sqrt{26} - \sqrt{13})(\sqrt{13})} = \sqrt{13((\sqrt{26})^2 - (\sqrt{13})^2)} = \sqrt{13(26 - 13)} = \sqrt{13 \cdot 13} = 13$$.

Ответ: Треугольник $$ABC$$ равнобедренный, его площадь равна 13.