415. Дана система уравнений \begin{cases} kx+4y=6, 5x+8y=3. \end{cases} Подберите такое число $$k$$, чтобы система имела единственное решение. Существует ли такое значение $$k$$, при котором данная система не имеет решения; имеет бесконечное множество решений?

Чтобы система уравнений имела единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы коэффициентов был отличен от нуля.

Определитель матрицы коэффициентов равен:

$$ \begin{vmatrix} k & 4 \\ 5 & 8 \end{vmatrix} = 8k - 20 $$

Система имеет единственное решение, если:

$$ 8k - 20
eq 0 $$ $$ 8k
eq 20 $$ $$ k
eq \frac{20}{8} $$ $$ k
eq \frac{5}{2} $$ $$ k
eq 2.5 $$

Таким образом, система имеет единственное решение при $$k
eq 2.5$$.

Система не имеет решений или имеет бесконечно много решений, если определитель равен нулю, то есть $$k = 2.5$$. В этом случае система принимает вид:

\begin{cases} 2.5x + 4y = 6, 5x + 8y = 3. \end{cases}

Умножим первое уравнение на 2:

\begin{cases} 5x + 8y = 12, 5x + 8y = 3. \end{cases}

Вычитая из первого уравнения второе, получим:

$$ 0 = 9 $$

Это означает, что система не имеет решений при $$k = 2.5$$.

Система не может иметь бесконечное множество решений, так как при $$k = 2.5$$ система не имеет решений.

Ответ: Система имеет единственное решение при $$k
eq 2.5$$. Система не имеет решений при $$k = 2.5$$. Система не имеет бесконечное множество решений ни при каком значении $$k$$.