Д. 51. Лиса гонится за зайцем с такой скоростью, что ее импульс равен импульсу зайца. Сможет ли лиса догнать зайца? Д. 52. Слон массой 4,5 т бежит со скоростью 10 м/с. С какой скоростью должен ехать автомобиль массой 1500 кг, чтобы его импульс был равен импульсу слона? Д. 53. Во сколько раз импульс бронетранспортера на суше больше, чем в воде, если его скорость на суше равна 22,5 м/с, а в воде равна 10 км/ч? Д. 54. Насколько изменился импульс бегуна массой 80 кг перед финишем, если в течение последних 10 с спортсмен бежал с постоянным ускорением, равным 0,2 м/с²? Д. 55. Мячик массой 100 г, брошенный вертикально вверх, вернулся обратно через 6 с. Определите импульс мяча в момент броска и в верхней точке. Д. 56. Камешек массой 30 г упал с высоты 20 м. Каким импульсом обладал камешек в момент удара о землю? Д. 57*. Тело массой m, брошенное вертикально вниз со скоростью υ₀, за время падения получило приращение импульса, равное Δp. Сколько времени тело находилось в полете, если известна средняя скорость его движения υcp? С какой высоты упало тело?

Д. 51.

Импульс тела определяется как произведение массы на скорость. Если импульсы лисы и зайца равны, это означает, что произведение массы лисы на её скорость равно произведению массы зайца на его скорость. Чтобы лисе догнать зайца, её скорость должна быть больше скорости зайца. Так как масса лисы больше массы зайца, то её скорость должна быть меньше, чем у зайца. Следовательно, лиса не сможет догнать зайца.

Д. 52.

Для решения этой задачи воспользуемся формулой импульса: $$p = m \cdot v$$, где $$p$$ - импульс, $$m$$ - масса, $$v$$ - скорость.

Импульс слона: $$p_{слона} = m_{слона} \cdot v_{слона} = 4500 \text{ кг} \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}} = 45000 \text{ кг} \cdot \frac{\text{м}}{\text{с}}$$.

Импульс автомобиля: $$p_{авто} = m_{авто} \cdot v_{авто} = 1500 \text{ кг} \cdot v_{авто}$$.

Чтобы импульсы были равны: $$p_{слона} = p_{авто}$$.

Тогда $$45000 \text{ кг} \cdot \frac{\text{м}}{\text{с}} = 1500 \text{ кг} \cdot v_{авто}$$.

Отсюда скорость автомобиля: $$v_{авто} = \frac{45000 \text{ кг} \cdot \frac{\text{м}}{\text{с}}}{1500 \text{ кг}} = 30 \frac{\text{м}}{\text{с}}$$.

Ответ: Автомобиль должен ехать со скоростью 30 м/с.

Д. 53.

Сначала переведем скорость в воде из км/ч в м/с: $$10 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 10 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{100}{36} \frac{\text{м}}{\text{с}} = \frac{25}{9} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 2,78 \frac{\text{м}}{\text{с}}$$.

Импульс определяется как $$p = m \cdot v$$. Отношение импульсов на суше и в воде будет равно отношению скоростей, так как масса бронетранспортера не меняется.

Отношение импульса на суше к импульсу в воде: $$\frac{p_{суше}}{p_{воде}} = \frac{v_{суше}}{v_{воде}} = \frac{22,5 \frac{\text{м}}{\text{с}}}{2,78 \frac{\text{м}}{\text{с}}} \approx 8,1$$.

Ответ: Импульс бронетранспортера на суше больше, чем в воде, примерно в 8,1 раза.

Д. 54.

Изменение импульса равно $$Δp = m \cdot a \cdot t$$, где $$m$$ - масса бегуна, $$a$$ - ускорение, $$t$$ - время.

$$Δp = 80 \text{ кг} \cdot 0,2 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 10 \text{ с} = 160 \text{ кг} \cdot \frac{\text{м}}{\text{с}}$$.

Ответ: Импульс бегуна изменился на 160 кг·м/с.

Д. 55.

Дано: масса мячика $$m = 100 \text{ г} = 0,1 \text{ кг}$$, время полета вверх и вниз $$t = 6 \text{ с}$$.

Время подъема мячика до верхней точки равно времени его падения, поэтому время подъема $$t_{подъема} = \frac{t}{2} = \frac{6 \text{ с}}{2} = 3 \text{ с}$$.

В момент броска мячик имеет некоторую начальную скорость $$v_0$$, которую можно найти, учитывая, что в верхней точке скорость мячика равна нулю. Используем формулу $$v = v_0 - g \cdot t$$, где $$v$$ - конечная скорость (0 м/с в верхней точке), $$g$$ - ускорение свободного падения (примерно 9,8 м/с²).

$$0 = v_0 - 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 3 \text{ с}$$.

Начальная скорость: $$v_0 = 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 3 \text{ с} = 29,4 \frac{\text{м}}{\text{с}}$$.

Импульс в момент броска: $$p_{броска} = m \cdot v_0 = 0,1 \text{ кг} \cdot 29,4 \frac{\text{м}}{\text{с}} = 2,94 \text{ кг} \cdot \frac{\text{м}}{\text{с}}$$.

В верхней точке скорость мячика равна нулю, поэтому импульс в верхней точке: $$p_{верх} = m \cdot 0 = 0 \text{ кг} \cdot \frac{\text{м}}{\text{с}}$$.

Ответ: Импульс мяча в момент броска равен 2,94 кг·м/с, импульс мяча в верхней точке равен 0 кг·м/с.

Д. 56.

Масса камешка $$m = 30 \text{ г} = 0,03 \text{ кг}$$, высота $$h = 20 \text{ м}$$.

Сначала найдем скорость камешка в момент удара о землю. Используем формулу $$v = \sqrt{2 \cdot g \cdot h}$$, где $$g$$ - ускорение свободного падения (примерно 9,8 м/с²).

$$v = \sqrt{2 \cdot 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 20 \text{ м}} = \sqrt{392} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 19,8 \frac{\text{м}}{\text{с}}$$.

Импульс камешка в момент удара: $$p = m \cdot v = 0,03 \text{ кг} \cdot 19,8 \frac{\text{м}}{\text{с}} = 0,594 \text{ кг} \cdot \frac{\text{м}}{\text{с}}$$.

Ответ: Импульс камешка в момент удара о землю равен примерно 0,594 кг·м/с.

Д. 57.

Приращение импульса равно $$Δp = m \cdot g \cdot t$$, где $$m$$ - масса тела, $$g$$ - ускорение свободного падения, $$t$$ - время падения.

Отсюда время падения: $$t = \frac{Δp}{m \cdot g}$$.

Также известно, что средняя скорость $$v_{cp} = \frac{h}{t}$$, где $$h$$ - высота, с которой упало тело.

Так как тело брошено вертикально вниз с начальной скоростью $$v_0$$, то средняя скорость $$v_{cp} = \frac{v_0 + v}{2}$$, где $$v$$ - конечная скорость в момент падения.

Конечная скорость $$v = v_0 + g \cdot t$$.

Подставим выражение для $$t$$ в формулу для $$v$$: $$v = v_0 + g \cdot \frac{Δp}{m \cdot g} = v_0 + \frac{Δp}{m}$$.

Теперь подставим выражение для $$v$$ в формулу для средней скорости: $$v_{cp} = \frac{v_0 + v_0 + \frac{Δp}{m}}{2} = v_0 + \frac{Δp}{2m}$$.

Высота падения: $$h = v_{cp} \cdot t = v_{cp} \cdot \frac{Δp}{m \cdot g} = \left(v_0 + \frac{Δp}{2m}\right) \cdot \frac{Δp}{m \cdot g}$$.

Ответ: Время, которое тело находилось в полете: $$t = \frac{Δp}{m \cdot g}$$. Высота, с которой упало тело: $$h = \left(v_0 + \frac{Δp}{2m}\right) \cdot \frac{Δp}{m \cdot g}$$.