1. Через точку О проведены прямые 1 и т пересекающие параллельные плоскости а и В. Прямая 1 пересекает плоскости а и в в точках А1 и А2 соответственно, прямая т – в точках В1 и В2. Найдите длину отрезка А2В2, если А1В1-20 см, В₁О:ОВ2=1:4. ( два случая) 2. Каждая из двух прямых параллельна плоскостям а и В. При каком взаимном расположении данных прямых можно утверждать, что с ||ẞ ? Ответ объясните. 3. Прямая а лежит в плоскости с параллельна плоскости В. Прямая в параллельна плоскостям а и В. При каком взаимном расположении данных прямых можно утверждать, что а ||В? Ответ объясните. 4. Постройте сечение тетраэдра DABC плоскостью EFG.

1. Рассмотрим два возможных случая:

• Случай 1: Точки $$A_1$$ и $$B_1$$ лежат по одну сторону от точки $$O$$.
• Случай 2: Точки $$A_1$$ и $$B_1$$ лежат по разные стороны от точки $$O$$.

Случай 1:

Так как плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ параллельны, то прямые $$A_1B_1$$ и $$A_2B_2$$ также параллельны (как линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью). Следовательно, $$\triangle A_1OB_1 \sim \triangle A_2OB_2$$ (по двум углам). Из подобия следует, что $$ \frac{A_2B_2}{A_1B_1} = \frac{OB_2}{OB_1} = 4 $$

Тогда, $$ A_2B_2 = 4 \cdot A_1B_1 = 4 \cdot 20 \text{ см} = 80 \text{ см} $$

Случай 2:

В этом случае, $$\triangle A_1OB_1 \sim \triangle B_2OA_2$$. Следовательно, $$ \frac{A_2B_2}{A_1B_1} = \frac{OB_2}{OB_1} = 4 $$

Тогда, $$ A_2B_2 = 4 \cdot A_1B_1 = 4 \cdot 20 \text{ см} = 80 \text{ см} $$

В обоих случаях длина отрезка $$A_2B_2$$ равна 80 см.

Ответ: 80 см.

2. Если две прямые, каждая из которых параллельна плоскостям $$\alpha$$ и $$\beta$$, параллельны между собой, то плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ параллельны.

Объяснение: Если есть две параллельные прямые, параллельные двум плоскостям, то через эти прямые можно провести плоскость, параллельную обеим плоскостям $$\alpha$$ и $$\beta$$. Это означает, что плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ не пересекаются и, следовательно, параллельны.

3. Если прямая $$a$$ лежит в плоскости $$\alpha$$ и параллельна плоскости $$\beta$$, а прямая $$b$$ параллельна обеим плоскостям $$\alpha$$ и $$\beta$$, и при этом прямые $$a$$ и $$b$$ параллельны, то можно утверждать, что плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ параллельны.

Объяснение: Прямая $$a$$ лежит в плоскости $$\alpha$$ и параллельна $$\beta$$, а прямая $$b$$ параллельна $$\alpha$$ и $$\beta$$. Если $$a$$ и $$b$$ параллельны, это означает, что плоскость, содержащая $$a$$ и $$b$$, параллельна обеим плоскостям $$\alpha$$ и $$\beta$$, что возможно только в случае параллельности самих плоскостей.

4. Для построения сечения тетраэдра $$DABC$$ плоскостью $$EFG$$ необходимо выполнить следующие шаги:

1. Провести прямую $$EF$$ до пересечения с $$AD$$ в точке $$X$$.
2. Провести прямую $$EG$$ до пересечения с $$DC$$ в точке $$Y$$.
3. Провести прямую $$FG$$ до пересечения с $$BC$$ в точке $$Z$$.
4. Соединить точки $$X$$ и $$Y$$, $$Y$$ и $$Z$$, $$Z$$ и $$X$$.
5. Сечением будет четырехугольник $$EFG$$, соединенный с точками $$X$$, $$Y$$, $$Z$$.

Сечение будет представлять собой четырехугольник, образованный пересечением плоскости $$EFG$$ с гранями тетраэдра $$DABC$$.