Арифметическая и геометрическая прогрессия Задание 1. Последовательность задана условиями: 1) a=3, an+1=a+4. Найдите ag. 2) a-5, a1=4-2. Найдите а*. 3) a5, an-14-3. Найдите а 4) -4, C+1 С-2. Найдите Св. 5) 6, Cn+1=C+2. Найдите с. Задание 2. Выписаны первые три члена арифметической прогрессии: 1) -6; 1; 8; ... Найдите 6-й член этой прогрессии. 2) 20; 13; 6; ... Найдите 7-й член этой прогрессии. 3) -9; 5; 1;... Найдите 8-й член этой прогрессии. Задание 3. Выписаны первые три члена арифметической прогрессии: 1) -1; 2; 5; ... Найдите сумму первых пяти её членов. 2) -7; -4; -1;... Найдите сумму первых шести её членов. 3) 1; 3; 5; ... Найдите сумму первых восьми её членов. Задание 4. Дана арифметическая прогрессия (а), разность которой равна 1) 4,3, a-8,2. Найдите аз. 2)-8,5, 4-6,8. Найдите аз. 3) 1,9, 43,9. Найдите ад Задание 5. Дана арифметическая прогрессия (ат), разность которой равна 1) 5,1 и а=-0,2. Найдите сумму первых семи её членов. 2) -0,8 и а =1,1. Найдите сумму первых шести её членов. Задание 6. Дана арифметическая прогрессия (а) задана условиями: 1) a=43, a= а +5. Найдите сумму первых семи её членов. 2) a-9, a = а +4. Найдите сумму первых шести её членов. Задание 7. Выписано несколько последовательных членов арифметической прогрессии. Найдите член прогрессии, обозначенный буквой х. 1) ...;11; x; 19; 23; ... 2) ...; -6; x; 2; 0;... 3) ...; -9; χς; -13; -15;... 4) ...;-10; x −14; -16;... Задание 8. Найдите разность арифметической прогрессии (а), в которой 1) a=6,9, a=26,4 2) a-7,8, a = -10,4

Задание 1.

1) Дано: $$a_1 = 3$$, $$a_{n+1} = a_n + 4$$. Нужно найти $$a_9$$.

Используем рекуррентную формулу. Каждый следующий член получается прибавлением 4 к предыдущему.

$$a_2 = a_1 + 4 = 3 + 4 = 7$$

$$a_3 = a_2 + 4 = 7 + 4 = 11$$

$$a_4 = a_3 + 4 = 11 + 4 = 15$$

$$a_5 = a_4 + 4 = 15 + 4 = 19$$

$$a_6 = a_5 + 4 = 19 + 4 = 23$$

$$a_7 = a_6 + 4 = 23 + 4 = 27$$

$$a_8 = a_7 + 4 = 27 + 4 = 31$$

$$a_9 = a_8 + 4 = 31 + 4 = 35$$

Ответ: $$a_9 = $$ extbf{35}

2) Дано: $$a_n = -5$$, $$a_{n+1} = a_n - 2$$. Нужно найти $$a_4$$.

Используем рекуррентную формулу. Каждый следующий член получается вычитанием 2 из предыдущего.

$$a_1 = -5$$

$$a_2 = a_1 - 2 = -5 - 2 = -7$$

$$a_3 = a_2 - 2 = -7 - 2 = -9$$

$$a_4 = a_3 - 2 = -9 - 2 = -11$$

Ответ: $$a_4 = $$ extbf{-11}

3) Дано: $$a_5$$, $$a_{n+1} = a_n - 3$$. Нужно найти $$a_6$$.

К сожалению, значение $$a_5$$ не дано, поэтому найти $$a_6$$ невозможно. Предположим, что $$a_5 = x$$.

Используем рекуррентную формулу. Каждый следующий член получается вычитанием 3 из предыдущего.

$$a_6 = a_5 - 3 = x - 3$$

Ответ: $$a_6 = $$ extbf{x - 3}

4) Дано: $$c_4 = -4$$, $$c_{n+1} = c_n - 2$$. Нужно найти $$c_8$$.

Используем рекуррентную формулу.

$$c_5 = c_4 - 2 = -4 - 2 = -6$$

$$c_6 = c_5 - 2 = -6 - 2 = -8$$

$$c_7 = c_6 - 2 = -8 - 2 = -10$$

$$c_8 = c_7 - 2 = -10 - 2 = -12$$

Ответ: $$c_8 = $$ extbf{-12}

5) Дано: $$c_1 = 6$$, $$c_{n+1} = c_n + 2$$. Нужно найти $$c_5$$.

$$c_2 = c_1 + 2 = 6 + 2 = 8$$

$$c_3 = c_2 + 2 = 8 + 2 = 10$$

$$c_4 = c_3 + 2 = 10 + 2 = 12$$

$$c_5 = c_4 + 2 = 12 + 2 = 14$$

Ответ: $$c_5 = $$ extbf{14}

Задание 2.

1) Дано: арифметическая прогрессия -6, 1, 8,... Нужно найти 6-й член этой прогрессии.

Сначала найдем разность арифметической прогрессии: $$d = a_2 - a_1 = 1 - (-6) = 7$$.

Формула n-го члена арифметической прогрессии: $$a_n = a_1 + (n - 1)d$$.

Тогда 6-й член: $$a_6 = -6 + (6 - 1) \cdot 7 = -6 + 5 \cdot 7 = -6 + 35 = 29$$.

Ответ: $$a_6 = $$ extbf{29}

2) Дано: арифметическая прогрессия 20, 13, 6,... Нужно найти 7-й член этой прогрессии.

Сначала найдем разность: $$d = a_2 - a_1 = 13 - 20 = -7$$.

Тогда 7-й член: $$a_7 = 20 + (7 - 1) \cdot (-7) = 20 + 6 \cdot (-7) = 20 - 42 = -22$$.

Ответ: $$a_7 = $$ extbf{-22}

3) Дано: арифметическая прогрессия -9, -5, -1,... Нужно найти 8-й член этой прогрессии.

Сначала найдем разность: $$d = a_2 - a_1 = -5 - (-9) = 4$$.

Тогда 8-й член: $$a_8 = -9 + (8 - 1) \cdot 4 = -9 + 7 \cdot 4 = -9 + 28 = 19$$.

Ответ: $$a_8 = $$ extbf{19}

Задание 3.

1) Дано: арифметическая прогрессия -1, 2, 5,... Нужно найти сумму первых пяти её членов.

Сначала найдем разность: $$d = a_2 - a_1 = 2 - (-1) = 3$$.

Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии: $$S_n = \frac{2a_1 + (n - 1)d}{2} \cdot n$$.

Тогда сумма первых пяти членов: $$S_5 = \frac{2 \cdot (-1) + (5 - 1) \cdot 3}{2} \cdot 5 = \frac{-2 + 4 \cdot 3}{2} \cdot 5 = \frac{-2 + 12}{2} \cdot 5 = \frac{10}{2} \cdot 5 = 5 \cdot 5 = 25$$.

Ответ: $$S_5 = $$ extbf{25}

2) Дано: арифметическая прогрессия -7, -4, -1,... Нужно найти сумму первых шести её членов.

Сначала найдем разность: $$d = a_2 - a_1 = -4 - (-7) = 3$$.

Тогда сумма первых шести членов: $$S_6 = \frac{2 \cdot (-7) + (6 - 1) \cdot 3}{2} \cdot 6 = \frac{-14 + 5 \cdot 3}{2} \cdot 6 = \frac{-14 + 15}{2} \cdot 6 = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$$.

Ответ: $$S_6 = $$ extbf{3}

3) Дано: арифметическая прогрессия 1, 3, 5,... Нужно найти сумму первых восьми её членов.

Сначала найдем разность: $$d = a_2 - a_1 = 3 - 1 = 2$$.

Тогда сумма первых восьми членов: $$S_8 = \frac{2 \cdot 1 + (8 - 1) \cdot 2}{2} \cdot 8 = \frac{2 + 7 \cdot 2}{2} \cdot 8 = \frac{2 + 14}{2} \cdot 8 = \frac{16}{2} \cdot 8 = 8 \cdot 8 = 64$$.

Ответ: $$S_8 = $$ extbf{64}

Задание 4.

1) Дано: $$d = 4.3$$, $$a_2 = 8.2$$. Нужно найти $$a_3$$.

Формула: $$a_n = a_{n-1} + d$$.

Тогда $$a_3 = a_2 + d = 8.2 + 4.3 = 12.5$$.

Ответ: $$a_3 = $$ extbf{12.5}

2) Дано: $$d = -8.5$$, $$a_4 = 6.8$$. Нужно найти $$a_5$$.

$$a_5 = a_4 + d = 6.8 + (-8.5) = -1.7$$.

Ответ: $$a_5 = $$ extbf{-1.7}

3) Дано: $$d = 1.9$$, $$a_4 = 3.9$$. Нужно найти $$a_5$$.

$$a_5 = a_4 + d = 3.9 + 1.9 = 5.8$$.

Ответ: $$a_5 = $$ extbf{5.8}

Задание 5.

1) Дано: $$d = 5.1$$, $$a_1 = -0.2$$. Нужно найти сумму первых семи её членов.

Сумма первых n членов: $$S_n = \frac{2a_1 + (n - 1)d}{2} \cdot n$$.

$$S_7 = \frac{2 \cdot (-0.2) + (7 - 1) \cdot 5.1}{2} \cdot 7 = \frac{-0.4 + 6 \cdot 5.1}{2} \cdot 7 = \frac{-0.4 + 30.6}{2} \cdot 7 = \frac{30.2}{2} \cdot 7 = 15.1 \cdot 7 = 105.7$$.

Ответ: $$S_7 = $$ extbf{105.7}

2) Дано: $$d = -0.8$$, $$a_1 = 1.1$$. Нужно найти сумму первых шести её членов.

$$S_6 = \frac{2 \cdot 1.1 + (6 - 1) \cdot (-0.8)}{2} \cdot 6 = \frac{2.2 + 5 \cdot (-0.8)}{2} \cdot 6 = \frac{2.2 - 4}{2} \cdot 6 = \frac{-1.8}{2} \cdot 6 = -0.9 \cdot 6 = -5.4$$.

Ответ: $$S_6 = $$ extbf{-5.4}

Задание 6.

1) Дано: $$a_1 = 43$$, $$a_{n+1} = a_n + 5$$. Нужно найти сумму первых семи её членов.

$$a_2 = a_1 + 5 = 43 + 5 = 48$$.

$$d = a_2 - a_1 = 48 - 43 = 5$$.

$$S_7 = \frac{2 \cdot 43 + (7 - 1) \cdot 5}{2} \cdot 7 = \frac{86 + 6 \cdot 5}{2} \cdot 7 = \frac{86 + 30}{2} \cdot 7 = \frac{116}{2} \cdot 7 = 58 \cdot 7 = 406$$.

Ответ: $$S_7 = $$ extbf{406}

2) Дано: $$a_1 = -9$$, $$a_{n+1} = a_n + 4$$. Нужно найти сумму первых шести её членов.

$$a_2 = a_1 + 4 = -9 + 4 = -5$$.

$$d = a_2 - a_1 = -5 - (-9) = 4$$.

$$S_6 = \frac{2 \cdot (-9) + (6 - 1) \cdot 4}{2} \cdot 6 = \frac{-18 + 5 \cdot 4}{2} \cdot 6 = \frac{-18 + 20}{2} \cdot 6 = \frac{2}{2} \cdot 6 = 1 \cdot 6 = 6$$.

Ответ: $$S_6 = $$ extbf{6}

Задание 7.

1) Дано: ...; 11; x; 19; 23; ...

Найдем разность: $$d = 23 - 19 = 4$$.

Тогда 19 - x = 4, $$x = 19 - 4 = 15$$.

Ответ: $$x = $$ extbf{15}

2) Дано: ...; -6; x; 2; 0;...

Найдем разность: $$d = 0 - 2 = -2$$.

Тогда 2 - x = -2, $$x = 2 + 2 = 4$$.

Проверим: -6 - x = -2, $$x = -6 + 2 = -4$$.

Ответ: $$x = $$ extbf{-4}

3) Дано: ...; -9; x; -13; -15;...

Найдем разность: $$d = -15 - (-13) = -2$$.

Тогда -13 - x = -2, $$x = -13 + 2 = -11$$.

Ответ: $$x = $$ extbf{-11}

4) Дано: ...; -10; x; -14; -16;...

Найдем разность: $$d = -16 - (-14) = -2$$.

Тогда -14 - x = -2, $$x = -14 + 2 = -12$$.

Ответ: $$x = $$ extbf{-12}

Задание 8.

1) Дано: $$a_1 = 6.9, a_2 = 26.4$$.

Разность арифметической прогрессии: $$d = a_2 - a_1 = 26.4 - 6.9 = 19.5$$.

Ответ: $$d = $$ extbf{19.5}

2) Дано: $$a_1 = -7.8, a_3 = -10.4$$.

$$a_3 = a_1 + 2d$$.

$$2d = a_3 - a_1 = -10.4 - (-7.8) = -2.6$$.

$$d = -2.6 / 2 = -1.3$$.

Ответ: $$d = $$ extbf{-1.3}