Алгебра 9 Контрольная работа № 2. І вариант. 1°. Постройте график функции у = х² – 2x – 8. Найдите с помощью графика: а) значение у, при х = −1,5; б) значение х, при у = 3; в) нули функции; г) промежутки в которых у > 0 и в которых у <0; д) промежуток, в котором функция возрастает, убывает; е) область определения и область значений функции. 2. Найдите наименьшее значение квадратного трехчлена х²-6x+1.

1°. Построим график функции $$y = x^2 - 2x - 8$$. Для этого определим ключевые точки. * Вершина параболы: $$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$$. Тогда $$y_в = 1^2 - 2 \cdot 1 - 8 = -9$$. Вершина параболы в точке (1, -9). * Нули функции (точки пересечения с осью x): Решим уравнение $$x^2 - 2x - 8 = 0$$. $$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$$. $$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 6}{2} = 4$$. $$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 6}{2} = -2$$. Нули функции: x = 4 и x = -2.
Теперь, используя график (который, к сожалению, нельзя построить здесь), определим значения: а) значение y, при x = -1,5; Подставим x = -1,5 в уравнение: $$y = (-1.5)^2 - 2 \cdot (-1.5) - 8 = 2.25 + 3 - 8 = -2.75$$. Ответ: -2.75
б) значение x, при y = 3; Решим уравнение $$x^2 - 2x - 8 = 3$$. $$x^2 - 2x - 11 = 0$$. $$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-11) = 4 + 44 = 48$$. $$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{48}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4\sqrt{3}}{2} = 1 + 2\sqrt{3} \approx 4.46$$. $$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{48}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4\sqrt{3}}{2} = 1 - 2\sqrt{3} \approx -2.46$$. Ответ: $$x_1 \approx 4.46$$, $$x_2 \approx -2.46$$
в) нули функции; Как было найдено выше, нули функции: x = 4 и x = -2. Ответ: 4 и -2
г) промежутки в которых y > 0 и в которых y < 0; * y > 0 (функция выше оси x): $$(-\infty; -2) \cup (4; +\infty)$$. * y < 0 (функция ниже оси x): $$(-2; 4)$$. Ответ: $$y > 0$$ при $$(-\infty; -2) \cup (4; +\infty)$$, $$y < 0$$ при $$(-2; 4)$$.
д) промежуток, в котором функция возрастает, убывает; * Функция убывает от $$(-\infty; 1)$$. * Функция возрастает от $$(1; +\infty)$$. Ответ: убывает на $$(-\infty; 1)$$, возрастает на $$(1; +\infty)$$.
е) область определения и область значений функции. * Область определения: $$D(y) = (-\infty; +\infty)$$. * Область значений: $$E(y) = [-9; +\infty)$$. Ответ: Область определения: $$(-\infty; +\infty)$$, Область значений: $$[-9; +\infty)$$.
2. Найдите наименьшее значение квадратного трехчлена $$x^2 - 6x + 1$$. Наименьшее значение квадратного трехчлена достигается в вершине параболы. $$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3$$. $$y_в = 3^2 - 6 \cdot 3 + 1 = 9 - 18 + 1 = -8$$. Ответ: -8