AB=CD=20 CO:OD=3:8 SABCD-? AD=32

Для решения задачи необходимо найти площадь трапеции ABCD.

Основания трапеции AD = 32 и BC = AB = CD = 20.

Так как CO:OD = 3:8, то можем обозначить CO = 3x, OD = 8x.

Рассмотрим треугольники BOC и AOD. Они подобны по двум углам (угол BOC = углу AOD как вертикальные, угол CBO = углу ADO как накрест лежащие).

Тогда BO:OA = CO:OD = 3:8, то есть BO = 3y, OA = 8y.

Для нахождения высоты трапеции можем воспользоваться формулой площади трапеции: $$S = \frac{AD+BC}{2} \cdot h$$, где h - высота трапеции.

Рассмотрим треугольник COD. Пусть высота этого треугольника h1, а треугольника AOB - h2. Тогда вся высота трапеции h = h1 + h2.

Имеем, $$\frac{h_1}{h_2} = \frac{CO}{OA} = \frac{3}{8}$$.

Нужно найти высоту трапеции. Для этого воспользуемся дополнительными построениями.

Проведем высоты BK и CF к основанию AD.

Тогда AK = FD = (AD - BC) / 2 = (32 - 20) / 2 = 12 / 2 = 6.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABK. В нем AB = 20, AK = 6. По теореме Пифагора:

$$BK = \sqrt{AB^2 - AK^2} = \sqrt{20^2 - 6^2} = \sqrt{400 - 36} = \sqrt{364} = 2\sqrt{91}$$.

Таким образом, высота трапеции $$h = 2\sqrt{91}$$.

Теперь можем найти площадь трапеции:

$$S = \frac{AD+BC}{2} \cdot h = \frac{32+20}{2} \cdot 2\sqrt{91} = 52 \sqrt{91}$$

Площадь трапеции равна $$52\sqrt{91}$$.