а) $$\frac{4x-1}{x+1} = \frac{x^2+5}{x^2} - \frac{5}{x^2}$$; б) $$\frac{x+2}{x-2} - \frac{x(x-4)}{x^2-4} = \frac{4(3+x)}{x^2-4}$$; в) $$\frac{x-1}{x-2} = \frac{2}{x} - \frac{1}{x-2}$$; 5. Решить иррациональное уравнение: a) $$\sqrt{2x-34} = 1 + \sqrt{x}$$; б) $$\sqrt{15+x} + \sqrt{3+x} = 6$$; в) $$\sqrt{5x} + \sqrt{14-x} = 8$$

Решу данные уравнения: а) $$\frac{4x-1}{x+1} = \frac{x^2+5}{x^2} - \frac{5}{x^2}$$ Упростим правую часть уравнения: $$\frac{x^2+5}{x^2} - \frac{5}{x^2} = \frac{x^2+5-5}{x^2} = \frac{x^2}{x^2} = 1$$ при $$x
eq 0$$ Тогда уравнение принимает вид: $$\frac{4x-1}{x+1} = 1$$ Умножим обе части на $$(x+1)$$: $$4x - 1 = x + 1$$ $$3x = 2$$ $$x = \frac{2}{3}$$ Проверка: Подставим $$x=\frac{2}{3}$$ в исходное уравнение: $$\frac{4\cdot\frac{2}{3}-1}{\frac{2}{3}+1} = \frac{\frac{8}{3}-1}{\frac{5}{3}} = \frac{\frac{5}{3}}{\frac{5}{3}} = 1$$ $$\frac{(\frac{2}{3})^2+5}{(\frac{2}{3})^2} - \frac{5}{(\frac{2}{3})^2} = \frac{\frac{4}{9}+5}{\frac{4}{9}} - \frac{5}{\frac{4}{9}} = \frac{\frac{49}{9}}{\frac{4}{9}} - \frac{\frac{45}{9}}{\frac{4}{9}} = \frac{49}{4} - \frac{45}{4} = \frac{4}{4} = 1$$ Так как обе части равны 1, то $$x = \frac{2}{3}$$ является решением. Ответ: $$x = \frac{2}{3}$$ б) $$\frac{x+2}{x-2} - \frac{x(x-4)}{x^2-4} = \frac{4(3+x)}{x^2-4}$$ Приведем к общему знаменателю, учитывая, что $$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$$: $$\frac{(x+2)(x+2)}{(x-2)(x+2)} - \frac{x(x-4)}{(x-2)(x+2)} = \frac{4(3+x)}{(x-2)(x+2)}$$ Умножим обе части уравнения на $$(x-2)(x+2)$$ при условии, что $$x
eq \pm 2$$: $$(x+2)(x+2) - x(x-4) = 4(3+x)$$ $$x^2 + 4x + 4 - x^2 + 4x = 12 + 4x$$ $$8x + 4 = 12 + 4x$$ $$4x = 8$$ $$x = 2$$ Однако, мы исключили $$x = 2$$ в начале решения, так как при этом знаменатель обращается в ноль. Значит, данное уравнение не имеет решений. Ответ: нет решений. в) $$\frac{x-1}{x-2} = \frac{2}{x} - \frac{1}{x-2}$$ Перенесем все члены в левую часть уравнения: $$\frac{x-1}{x-2} - \frac{2}{x} + \frac{1}{x-2} = 0$$ Приведем к общему знаменателю, который равен $$x(x-2)$$: $$\frac{x(x-1) - 2(x-2) + x}{x(x-2)} = 0$$ Упростим числитель: $$\frac{x^2 - x - 2x + 4 + x}{x(x-2)} = 0$$ $$\frac{x^2 - 2x + 4}{x(x-2)} = 0$$ Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. $$x^2 - 2x + 4 = 0$$ Найдем дискриминант: $$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12$$ Так как дискриминант отрицательный, уравнение $$x^2 - 2x + 4 = 0$$ не имеет действительных корней. Значит, данное уравнение не имеет решений. Ответ: нет решений. 5. Решить иррациональное уравнение: a) $$\sqrt{2x-34} = 1 + \sqrt{x}$$ Возведем обе части уравнения в квадрат: $$(\sqrt{2x-34})^2 = (1 + \sqrt{x})^2$$ $$2x - 34 = 1 + 2\sqrt{x} + x$$ $$x - 35 = 2\sqrt{x}$$ Возведем обе части уравнения в квадрат еще раз: $$(x - 35)^2 = (2\sqrt{x})^2$$ $$x^2 - 70x + 1225 = 4x$$ $$x^2 - 74x + 1225 = 0$$ Решим квадратное уравнение: $$D = (-74)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1225 = 5476 - 4900 = 576$$ $$x_1 = \frac{74 + \sqrt{576}}{2} = \frac{74 + 24}{2} = \frac{98}{2} = 49$$ $$x_2 = \frac{74 - \sqrt{576}}{2} = \frac{74 - 24}{2} = \frac{50}{2} = 25$$ Проверим корни: Для $$x = 49$$: $$\sqrt{2 \cdot 49 - 34} = \sqrt{98 - 34} = \sqrt{64} = 8$$ $$1 + \sqrt{49} = 1 + 7 = 8$$ Для $$x = 25$$: $$\sqrt{2 \cdot 25 - 34} = \sqrt{50 - 34} = \sqrt{16} = 4$$ $$1 + \sqrt{25} = 1 + 5 = 6$$ Корень $$x = 25$$ не подходит, так как $$4
eq 6$$. Следовательно, решением является только $$x = 49$$. Ответ: $$x = 49$$ б) $$\sqrt{15+x} + \sqrt{3+x} = 6$$ Выразим один из корней: $$\sqrt{15+x} = 6 - \sqrt{3+x}$$ Возведем обе части уравнения в квадрат: $$(\sqrt{15+x})^2 = (6 - \sqrt{3+x})^2$$ $$15 + x = 36 - 12\sqrt{3+x} + 3 + x$$ $$15 = 39 - 12\sqrt{3+x}$$ $$12\sqrt{3+x} = 24$$ $$\sqrt{3+x} = 2$$ Возведем обе части в квадрат: $$3 + x = 4$$ $$x = 1$$ Проверка: $$\sqrt{15+1} + \sqrt{3+1} = \sqrt{16} + \sqrt{4} = 4 + 2 = 6$$ Корень $$x = 1$$ является решением. Ответ: $$x = 1$$ в) $$\sqrt{5x} + \sqrt{14-x} = 8$$ Выразим один из корней: $$\sqrt{5x} = 8 - \sqrt{14-x}$$ Возведем обе части уравнения в квадрат: $$(\sqrt{5x})^2 = (8 - \sqrt{14-x})^2$$ $$5x = 64 - 16\sqrt{14-x} + 14 - x$$ $$6x - 78 = -16\sqrt{14-x}$$ $$3x - 39 = -8\sqrt{14-x}$$ Возведем обе части уравнения в квадрат еще раз: $$(3x - 39)^2 = (-8\sqrt{14-x})^2$$ $$9x^2 - 234x + 1521 = 64(14 - x)$$ $$9x^2 - 234x + 1521 = 896 - 64x$$ $$9x^2 - 170x + 625 = 0$$ Решим квадратное уравнение: $$D = (-170)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 625 = 28900 - 22500 = 6400$$ $$x_1 = \frac{170 + \sqrt{6400}}{2 \cdot 9} = \frac{170 + 80}{18} = \frac{250}{18} = \frac{125}{9}$$ $$x_2 = \frac{170 - \sqrt{6400}}{2 \cdot 9} = \frac{170 - 80}{18} = \frac{90}{18} = 5$$ Проверим корни: Для $$x = 5$$: $$\sqrt{5 \cdot 5} + \sqrt{14 - 5} = \sqrt{25} + \sqrt{9} = 5 + 3 = 8$$ Для $$x = \frac{125}{9}$$: $$\sqrt{5 \cdot \frac{125}{9}} + \sqrt{14 - \frac{125}{9}} = \sqrt{\frac{625}{9}} + \sqrt{\frac{126-125}{9}} = \frac{25}{3} + \frac{1}{3} = \frac{26}{3}
eq 8$$ Корень $$x = \frac{125}{9}$$ не подходит, следовательно, решением является $$x = 5$$. Ответ: $$x = 5$$