14 a) \begin{cases} x^2 - 2y = 3,\\ x^2y = 27;\\ \end{cases} б) \begin{cases} x^2 + y = 10,\\ x^4 + x^2y = 90;\\ \end{cases} в) \begin{cases} x + y^2 = 2,\\ 2y^2 + x^2 = 3;\\ \end{cases} г) \begin{cases} x^2 + y^4 = 5,\\ xy^2 = 2.\\ \end{cases}

Решим представленные системы уравнений: a) \begin{cases} x^2 - 2y = 3,\\ x^2y = 27;\\ \end{cases} Из первого уравнения выразим $$x^2 = 3 + 2y$$ и подставим во второе: $$(3 + 2y)y = 27$$ $$2y^2 + 3y - 27 = 0$$ Решим квадратное уравнение: $$D = 3^2 - 4\cdot2\cdot(-27) = 9 + 216 = 225$$ $$y_1 = \frac{-3 + \sqrt{225}}{4} = \frac{-3 + 15}{4} = \frac{12}{4} = 3$$ $$y_2 = \frac{-3 - \sqrt{225}}{4} = \frac{-3 - 15}{4} = \frac{-18}{4} = -\frac{9}{2}$$ Тогда: Если $$y = 3$$, то $$x^2 = 3 + 2\cdot3 = 9$$, $$x = \pm 3$$. Если $$y = -\frac{9}{2}$$, то $$x^2 = 3 + 2\cdot(-\frac{9}{2}) = 3 - 9 = -6$$. Решений нет. Ответ: $$(3, 3), (-3, 3)$$. б) \begin{cases} x^2 + y = 10,\\ x^4 + x^2y = 90;\\ \end{cases} Из первого уравнения выразим $$y = 10 - x^2$$ и подставим во второе: $$x^4 + x^2(10 - x^2) = 90$$ $$x^4 + 10x^2 - x^4 = 90$$ $$10x^2 = 90$$ $$x^2 = 9$$ $$x = \pm 3$$ Тогда: Если $$x = 3$$, то $$y = 10 - 3^2 = 1$$. Если $$x = -3$$, то $$y = 10 - (-3)^2 = 1$$. Ответ: $$(3, 1), (-3, 1)$$. в) \begin{cases} x + y^2 = 2,\\ 2y^2 + x^2 = 3;\\ \end{cases} Из первого уравнения выразим $$x = 2 - y^2$$ и подставим во второе: $$2y^2 + (2 - y^2)^2 = 3$$ $$2y^2 + 4 - 4y^2 + y^4 = 3$$ $$y^4 - 2y^2 + 1 = 0$$ $$(y^2 - 1)^2 = 0$$ $$y^2 = 1$$ $$y = \pm 1$$ Тогда: Если $$y = 1$$, то $$x = 2 - 1^2 = 1$$. Если $$y = -1$$, то $$x = 2 - (-1)^2 = 1$$. Ответ: $$(1, 1), (1, -1)$$. г) \begin{cases} x^2 + y^4 = 5,\\ xy^2 = 2.\\ \end{cases} Выразим из второго уравнения $$x = \frac{2}{y^2}$$ и подставим в первое: $$(\frac{2}{y^2})^2 + y^4 = 5$$ $$\frac{4}{y^4} + y^4 = 5$$ $$4 + y^8 = 5y^4$$ $$y^8 - 5y^4 + 4 = 0$$ Пусть $$t = y^4$$, тогда: $$t^2 - 5t + 4 = 0$$ $$D = (-5)^2 - 4\cdot1\cdot4 = 25 - 16 = 9$$ $$t_1 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2} = \frac{5 + 3}{2} = 4$$ $$t_2 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2} = \frac{5 - 3}{2} = 1$$ Тогда: Если $$y^4 = 4$$, то $$y = \pm \sqrt{2}$$. Если $$y = \sqrt{2}$$, то $$x = \frac{2}{(\sqrt{2})^2} = 1$$. Если $$y = -\sqrt{2}$$, то $$x = \frac{2}{(-\sqrt{2})^2} = 1$$. Если $$y^4 = 1$$, то $$y = \pm 1$$. Если $$y = 1$$, то $$x = \frac{2}{1^2} = 2$$. Если $$y = -1$$, то $$x = \frac{2}{(-1)^2} = 2$$. Ответ: $$(1, \sqrt{2}), (1, -\sqrt{2}), (2, 1), (2, -1)$$.