4. Построй четырёхугольник KLMN K(0; 6), L(-5; 4), M(-3;-3), N(4; −1) Проведи диагонали. Найди координаты точки пересечения.

Решение:

Для того чтобы построить четырёхугольник и найти точку пересечения его диагоналей, нам нужно найти уравнения прямых, содержащих диагонали, и решить систему этих уравнений.

1. Найдём уравнение диагонали KM:

   Через точки K(0; 6) и M(-3; -3).

   Уравнение прямой имеет вид y = kx + b.

   Подставляем координаты точки K:

   \[ 6 = k \cdot 0 + b \implies b = 6 \]

   Подставляем координаты точки M:

   \[ -3 = k \cdot (-3) + 6 \]
   

   \[ -9 = -3k \]
   

   \[ k = 3 \]

   Таким образом, уравнение диагонали KM: y = 3x + 6.

2. Найдём уравнение диагонали LN:

   Через точки L(-5; 4) и N(4; -1).

   Уравнение прямой имеет вид y = kx + b.

   Подставляем координаты точки L:

   \[ 4 = k \cdot (-5) + b \implies b = 4 + 5k \]

   Подставляем координаты точки N:

   \[ -1 = k \cdot 4 + (4 + 5k) \]
   

   \[ -1 = 4k + 4 + 5k \]
   

   \[ -1 = 9k + 4 \]
   

   \[ -5 = 9k \]
   

   \[ k = -\frac{5}{9} \]

   Теперь найдём b:

   \[ b = 4 + 5 \cdot \left(-\frac{5}{9}\right) = 4 - \frac{25}{9} = \frac{36 - 25}{9} = \frac{11}{9} \]

   Таким образом, уравнение диагонали LN: y = -\(\frac{5}{9}\)x + \(\frac{11}{9}\).

3. Найдём точку пересечения диагоналей:

   Решим систему уравнений:

   \[ \begin{cases} y = 3x + 6 \\ y = -\frac{5}{9}x + \frac{11}{9} \end{cases} \]
   

   Приравниваем правые части:

   \[ 3x + 6 = -\frac{5}{9}x + \frac{11}{9} \]
   

   Умножим обе части на 9, чтобы избавиться от дробей:

   \[ 27x + 54 = -5x + 11 \]
   

   \[ 27x + 5x = 11 - 54 \]
   

   \[ 32x = -43 \]
   

   \[ x = -\frac{43}{32} \]

   Теперь найдём y, подставив x в первое уравнение:

   \[ y = 3 \cdot \left(-\frac{43}{32}\right) + 6 = -\frac{129}{32} + \frac{192}{32} = \frac{63}{32} \]

Ответ: Точка пересечения диагоналей имеет координаты (-43/32; 63/32).