1.1 Образец решения примера. Найти область определения функции y = ln((x^2-4x-12)/(x-3))

Решение:

Чтобы найти область определения функции y = ln((x^2-4x-12)/(x-3)), нам нужно учесть два условия:

1. Аргумент логарифма должен быть больше нуля:
• \[ \frac{x^2 - 4x - 12}{x - 3} > 0 \]
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:
• x - 3 \(\neq\) 0, то есть x \(\neq\) 3

Теперь решим неравенство (x^2 - 4x - 12)/(x - 3) > 0.

1. Найдем нули числителя:

• x^2 - 4x - 12 = 0
• Используем дискриминант: D = b^2 - 4ac
• a = 1, b = -4, c = -12
• D = (-4)^2 - 4 \(\cdot\) 1 \(\cdot\) (-12) = 16 + 48 = 64
• \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
• \[ x_1 = \frac{-(-4) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 8}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \]
• \[ x_2 = \frac{-(-4) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 8}{2} = \frac{12}{2} = 6 \]

2. Найдем нули знаменателя:

• x - 3 = 0
• x = 3

Теперь у нас есть три критические точки: -2, 3, 6. Нанесем их на числовую ось и определим знаки выражения (x^2 - 4x - 12)/(x - 3) на каждом интервале.

Числитель (x - (-2))(x - 6) = (x + 2)(x - 6).

Выражение примет вид: ((x + 2)(x - 6))/(x - 3)

Интервалы:

• \(-\infty, -2\): Возьмем x = -3. ((-3+2)(-3-6))/(-3-3) = ((-1)(-9))/(-6) = 9/(-6) < 0
• (-2, 3): Возьмем x = 0. ((0+2)(0-6))/(0-3) = ((2)(-6))/(-3) = -12/(-3) > 0
• (3, 6): Возьмем x = 4. ((4+2)(4-6))/(4-3) = ((6)(-2))/(1) = -12 < 0
• \(6, +\infty\): Возьмем x = 7. ((7+2)(7-6))/(7-3) = ((9)(1))/(4) = 9/4 > 0

Нам нужно, чтобы выражение было больше нуля (> 0).

Таким образом, интервалы, удовлетворяющие условию, это (-2, 3) и \(6, +\infty\).

Область определения функции:

• x \(\in\) (-2; 3) \(\cup\) \(6; +\infty\)

Ответ: x \(\in\) (-2; 3) \(\cup\) \(6; +\infty\)