Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
42. 1) $$5^x=8^x$$; 2) $$(\frac{1}{2})^x=(\frac{1}{3})^x$$; 3) $$3^x=5^{2x}$$; 4) $$4^x=3^{\frac{x}{2}}$$; 5) $$7^{x-2}=3^{2-x}$$; 6) $$2^{x-3}=3^{3-x}$$; 7) $$3^{\frac{x+2}{4}}=5^{x+2}$$; 8) $$4^{\frac{x-3}{2}}=3^{2(x-3)}$$
Ответ:
Решим каждое уравнение по порядку:
1) $$5^x = 8^x$$
Разделим обе части уравнения на $$8^x$$:
$$(\frac{5}{8})^x = 1$$
Это возможно только в случае, если $$x = 0$$.
2) $$(\frac{1}{2})^x = (\frac{1}{3})^x$$
Аналогично, разделим обе части уравнения на $$(\frac{1}{3})^x$$:
$$(\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{3}})^x = 1$$
$$(\frac{3}{2})^x = 1$$
Это возможно только в случае, если $$x = 0$$.
3) $$3^x = 5^{2x}$$
$$3^x = (5^2)^x$$
$$3^x = 25^x$$
Разделим обе части уравнения на $$25^x$$:
$$(\frac{3}{25})^x = 1$$
Это возможно только в случае, если $$x = 0$$.
4) $$4^x = 3^{\frac{x}{2}}$$
$$(2^2)^x = 3^{\frac{x}{2}}$$
$$2^{2x} = 3^{\frac{x}{2}}$$
Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2:
$$2x = \frac{x}{2} \cdot \log_2{3}$$
$$2x - \frac{x}{2} \cdot \log_2{3} = 0$$
$$x(2 - \frac{1}{2} \cdot \log_2{3}) = 0$$
Так как $$(2 - \frac{1}{2} \cdot \log_2{3})
eq 0$$, то $$x = 0$$. 5) $$7^{x-2} = 3^{2-x}$$ $$7^{x-2} = 3^{-(x-2)}$$ $$7^{x-2} = (\frac{1}{3})^{x-2}$$ Разделим обе части уравнения на $$(\frac{1}{3})^{x-2}$$: $$(7 \cdot 3)^{x-2} = 1$$ $$21^{x-2} = 1$$ Это возможно только если $$x-2 = 0$$, то есть $$x = 2$$. 6) $$2^{x-3} = 3^{3-x}$$ $$2^{x-3} = 3^{-(x-3)}$$ $$2^{x-3} = (\frac{1}{3})^{x-3}$$ Разделим обе части уравнения на $$(\frac{1}{3})^{x-3}$$: $$(2 \cdot 3)^{x-3} = 1$$ $$6^{x-3} = 1$$ Это возможно только если $$x-3 = 0$$, то есть $$x = 3$$. 7) $$3^{\frac{x+2}{4}} = 5^{x+2}$$ Прологарифмируем обе части по основанию 3: $$\frac{x+2}{4} = (x+2) \log_3{5}$$ $$\frac{x+2}{4} - (x+2) \log_3{5} = 0$$ $$(x+2)(\frac{1}{4} - \log_3{5}) = 0$$ Так как $$(\frac{1}{4} - \log_3{5})
eq 0$$, то $$x+2 = 0$$, то есть $$x = -2$$. 8) $$4^{\frac{x-3}{2}} = 3^{2(x-3)}$$ $$(2^2)^{\frac{x-3}{2}} = 3^{2(x-3)}$$ $$2^{x-3} = 3^{2(x-3)}$$ Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2: $$x-3 = 2(x-3) \log_2{3}$$ $$x-3 - 2(x-3) \log_2{3} = 0$$ $$(x-3)(1 - 2 \log_2{3}) = 0$$ Так как $$(1 - 2 \log_2{3})
eq 0$$, то $$x-3 = 0$$, то есть $$x = 3$$.
eq 0$$, то $$x = 0$$. 5) $$7^{x-2} = 3^{2-x}$$ $$7^{x-2} = 3^{-(x-2)}$$ $$7^{x-2} = (\frac{1}{3})^{x-2}$$ Разделим обе части уравнения на $$(\frac{1}{3})^{x-2}$$: $$(7 \cdot 3)^{x-2} = 1$$ $$21^{x-2} = 1$$ Это возможно только если $$x-2 = 0$$, то есть $$x = 2$$. 6) $$2^{x-3} = 3^{3-x}$$ $$2^{x-3} = 3^{-(x-3)}$$ $$2^{x-3} = (\frac{1}{3})^{x-3}$$ Разделим обе части уравнения на $$(\frac{1}{3})^{x-3}$$: $$(2 \cdot 3)^{x-3} = 1$$ $$6^{x-3} = 1$$ Это возможно только если $$x-3 = 0$$, то есть $$x = 3$$. 7) $$3^{\frac{x+2}{4}} = 5^{x+2}$$ Прологарифмируем обе части по основанию 3: $$\frac{x+2}{4} = (x+2) \log_3{5}$$ $$\frac{x+2}{4} - (x+2) \log_3{5} = 0$$ $$(x+2)(\frac{1}{4} - \log_3{5}) = 0$$ Так как $$(\frac{1}{4} - \log_3{5})
eq 0$$, то $$x+2 = 0$$, то есть $$x = -2$$. 8) $$4^{\frac{x-3}{2}} = 3^{2(x-3)}$$ $$(2^2)^{\frac{x-3}{2}} = 3^{2(x-3)}$$ $$2^{x-3} = 3^{2(x-3)}$$ Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2: $$x-3 = 2(x-3) \log_2{3}$$ $$x-3 - 2(x-3) \log_2{3} = 0$$ $$(x-3)(1 - 2 \log_2{3}) = 0$$ Так как $$(1 - 2 \log_2{3})
eq 0$$, то $$x-3 = 0$$, то есть $$x = 3$$.
Похожие
