$$\sqrt[3]{3^{x+1}} = (\sqrt[4]{9^{x-2}})^{x+1}$$

Для решения данного уравнения, необходимо упростить обе части выражения, используя свойства степеней и корней. 1. Преобразуем левую часть уравнения: $$\sqrt[3]{3^{x+1}} = (3^{x+1})^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{x+1}{3}}$$ 2. Преобразуем правую часть уравнения: $$\sqrt[4]{9^{x-2}} = (9^{x-2})^{\frac{1}{4}} = (3^{2(x-2)})^{\frac{1}{4}} = 3^{\frac{2(x-2)}{4}} = 3^{\frac{x-2}{2}}$$ Теперь возведем это в степень (x+1): $$(3^{\frac{x-2}{2}})^{x+1} = 3^{\frac{(x-2)(x+1)}{2}}$$ 3. Теперь уравнение имеет вид: $$3^{\frac{x+1}{3}} = 3^{\frac{(x-2)(x+1)}{2}}$$ Так как основания степеней равны, мы можем приравнять показатели: $$\frac{x+1}{3} = \frac{(x-2)(x+1)}{2}$$ 4. Решим полученное уравнение: Умножим обе части на 6, чтобы избавиться от дробей: $$2(x+1) = 3(x-2)(x+1)$$ $$2(x+1) = 3(x^2 - x - 2)$$ $$2x + 2 = 3x^2 - 3x - 6$$ Перенесем все в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение: $$0 = 3x^2 - 5x - 8$$ 5. Решим квадратное уравнение $$3x^2 - 5x - 8 = 0$$. Для этого найдем дискриминант D: $$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 25 + 96 = 121$$ Так как D > 0, у нас есть два корня: $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{5 + 11}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{5 - 11}{6} = \frac{-6}{6} = -1$$ 6. Проверим корни, подставив их в исходное уравнение: При x = -1, показатели степеней равны 0, что дает 1 = 1. Поэтому x = -1 является корнем. $$x_1=\frac{8}{3}$$ $$\frac{x+1}{3}=\frac{\frac{8}{3}+1}{3}=\frac{11}{9}$$ $$\frac{(x-2)(x+1)}{2}=\frac{(\frac{8}{3}-2)(\frac{8}{3}+1)}{2}=\frac{\frac{2}{3}\cdot\frac{11}{3}}{2}=\frac{22}{18}=\frac{11}{9}$$ Ответ: $$x_1 = \frac{8}{3}, x_2 = -1$$. \textbf{Ответ: -1, 8/3}