1. Уравнения

Так как \(121=11^2\), получаем \(9x-25=2\), откуда \(9x=27\) и \(x=3\).
\(\frac1{81}=3^{-4}\), поэтому \(3^{x^2-7x}=3^{-4x+4}\). Приравниваем показатели: \(x^2-7x=-4x+4\), то есть \(x^2-3x-4=0\). Разложение: \((x-4)(x+1)=0\). Следовательно, \(x=4\) или \(x=-1\).
Выносим \(12^x\): \(12^x+3\cdot12\cdot12^x=37\), значит \(37\cdot12^x=37\). Тогда \(12^x=1\), откуда \(x=0\).
Положим \(t=2^x\), где \(t>0\). Тогда \(t^2-7t-8=0\), то есть \((t-8)(t+1)=0\). Поскольку \(t>0\), получаем \(t=8=2^3\), поэтому \(x=3\).

2. Неравенства

\(16=2^4\). Основание больше 1, поэтому \(3x+16\ge4\), откуда \(x\ge-4\).
Перепишем обе части с основанием 6: \(\left(\frac16\right)^{-5x+2}=6^{5x-2}\), а \(36^{x-4}=6^{2x-8}\). Так как основание больше 1, \(5x-2<2x-8\), откуда \(x<-2\).
Основание 13 больше 1, и \(13^u\ge1\) равносильно \(u\ge0\). Решаем \(4x^2-6x\ge0\): \(2x(2x-3)\ge0\). Следовательно, \(x\le0\) или \(x\ge\frac32\).
Область определения: \(4x+5\ne0\), то есть \(x\ne-\frac54\). Поскольку \(49=7^2\) и основание больше 1, нужно решить \(\frac{2x-2}{4x+5}>2\). После упрощения получаем \(\frac{-6x-12}{4x+5}>0\), или \(\frac{x+2}{4x+5}<0\). Критические точки: \(-2\) и \(-\frac54\); дробь отрицательна на интервале \((-2,-\frac54)\).

Ответ: 1) \(x=3\); 2) \(x=-1,4\); 3) \(x=0\); 4) \(x=3\). Неравенства: 1) \(x\ge-4\); 2) \(x<-2\); 3) \((-\infty,0]\cup[\frac32,+\infty)\); 4) \((-2,-\frac54)\).

Поделись с друзьями