Пусть \(AD=x\). Расположим \(AB\) горизонтально. Так как угол A равен \(60^\circ\), биссектриса AM образует с AB угол \(30^\circ\).

Из пересечения биссектрисы AM со стороной BC следует, что точка M имеет координаты \(M(9;3\sqrt3)\), а точка D имеет координаты \(D\left(\frac{x}{2};\frac{x\sqrt3}{2}\right)\).

Условие \(AM\perp DM\) означает, что скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{AM}\) и \(\overrightarrow{DM}\) равно нулю:

\[\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{DM}=0.\]

После подстановки координат:

\[9\left(9-\frac{x}{2}\right)+3\sqrt3\cdot\sqrt3\left(3-\frac{x}{2}\right)=0,\]

\[81-\frac{9x}{2}+27-\frac{9x}{2}=0,\]

\[108-9x=0,\qquad x=12.\]

Следовательно, \(AD=12\), и периметр равен:

\[P=2(AB+AD)=2(6+12)=36.\]

Ответ: 36.

Поделись с друзьями