Задание 5. Трёхчлен как квадрат двучлена

Вспомним формулы квадрата суммы и разности:

\( (A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 \)
\( (A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2 \)

Теперь применим их к нашим выражениям:

\( a^2 + 8a + 16 \)
Здесь \( A^2 = a^2 \), значит \( A = a \).
\( B^2 = 16 \), значит \( B = 4 \).
Проверим средний член: \( 2AB = 2 \times a \times 4 = 8a \). Совпадает!
Значит, \( a^2 + 8a + 16 = (a + 4)^2 \).
\( 9x^2 - 6x + 1 \)
\( A^2 = 9x^2 \), значит \( A = 3x \).
\( B^2 = 1 \), значит \( B = 1 \).
Проверим средний член: \( -2AB = -2 \times 3x \times 1 = -6x \). Совпадает!
Значит, \( 9x^2 - 6x + 1 = (3x - 1)^2 \).
\( 121m^2 - 88mn + 16n^2 \)
\( A^2 = 121m^2 \), значит \( A = 11m \).
\( B^2 = 16n^2 \), значит \( B = 4n \).
Проверим средний член: \( -2AB = -2 \times 11m \times 4n = -88mn \). Совпадает!
Значит, \( 121m^2 - 88mn + 16n^2 = (11m - 4n)^2 \).
\( 24ab + 36a^2 + 4b^2 \)
Переставим члены: \( 36a^2 + 24ab + 4b^2 \).
\( A^2 = 36a^2 \), значит \( A = 6a \).
\( B^2 = 4b^2 \), значит \( B = 2b \).
Проверим средний член: \( 2AB = 2 \times 6a \times 2b = 24ab \). Совпадает!
Значит, \( 36a^2 + 24ab + 4b^2 = (6a + 2b)^2 \).
\( a^6 - 4a^3b + 4b^2 \)
\( A^2 = a^6 \), значит \( A = a^3 \).
\( B^2 = 4b^2 \), значит \( B = 2b \).
Проверим средний член: \( -2AB = -2 \times a^3 \times 2b = -4a^3b \). Совпадает!
Значит, \( a^6 - 4a^3b + 4b^2 = (a^3 - 2b)^2 \).
\( 25p^{10} + q^8 + 10p^5q^4 \)
Переставим члены: \( 25p^{10} + 10p^5q^4 + q^8 \).
\( A^2 = 25p^{10} \), значит \( A = 5p^5 \).
\( B^2 = q^8 \), значит \( B = q^4 \).
Проверим средний член: \( 2AB = 2 \times 5p^5 \times q^4 = 10p^5q^4 \). Совпадает!
Значит, \( 25p^{10} + 10p^5q^4 + q^8 = (5p^5 + q^4)^2 \).

Ответ: 1) (a + 4)²; 2) (3x - 1)²; 3) (11m - 4n)²; 4) (6a + 2b)²; 5) (a³ - 2b)²; 6) (5p⁵ + q⁴)².

Поделись с друзьями