Используем свойство: если \(\vec a\) и \(\vec b\) не коллинеарны, то равенство \(x\vec a+y\vec b=\vec 0\) возможно только при \(x=0\) и \(y=0\).

а) Предположим, что \(\vec a+\vec b\) и \(\vec a-\vec b\) коллинеарны. Тогда для некоторого числа \(k\):

\[\vec a+\vec b=k(\vec a-\vec b).\]

После преобразования:

\[(1-k)\vec a+(1+k)\vec b=\vec 0.\]

Отсюда \(1-k=0\) и \(1+k=0\), то есть одновременно \(k=1\) и \(k=-1\), что невозможно. Следовательно, векторы не коллинеарны.

б) Предположим, что \(2\vec a-\vec b\) и \(\vec a+\vec b\) коллинеарны. Тогда:

\[2\vec a-\vec b=k(\vec a+\vec b),\]

\[(2-k)\vec a+(-1-k)\vec b=\vec 0.\]

Значит, \(2-k=0\) и \(-1-k=0\), то есть одновременно \(k=2\) и \(k=-1\), что невозможно. Следовательно, векторы не коллинеарны.

в) Предположим, что \(\vec a+\vec b\) и \(\vec a+3\vec b\) коллинеарны. Тогда:

\[\vec a+\vec b=k(\vec a+3\vec b),\]

\[(1-k)\vec a+(1-3k)\vec b=\vec 0.\]

Отсюда \(1-k=0\) и \(1-3k=0\), то есть одновременно \(k=1\) и \(k=\frac13\), что невозможно. Следовательно, векторы не коллинеарны.

Ответ: все три пары векторов не коллинеарны.

Поделись с друзьями