Задание 1

Дано:

Треугольник ABC
BM - медиана
BH - высота
AC = 73
BC = BM

Найти: AH

Решение:

Рассмотрим треугольник BHC. Так как BH - высота, то угол BHC = 90°.
В треугольнике BHC, BC является гипотенузой.
В треугольнике ABM, BM - медиана, значит AM = MC.
Рассмотрим треугольник BCM. По условию BC = BM. Это означает, что треугольник BCM равнобедренный.
В равнобедренном треугольнике BCM углы при основании равны: ∠BCM = ∠BMC.
Так как BH - высота, то ∠BHC = 90°.
В прямоугольном треугольнике BHC, ∠BCH + ∠HBC = 90°.
В равнобедренном треугольнике BCM, ∠BMC = ∠BCM.
Из того, что ∠BMC = ∠BCM, и ∠BHC = 90°, мы можем сделать вывод, что треугольник BHC является прямоугольным и равнобедренным, если ∠BMC = 90°. Но это не всегда так.
Рассмотрим другой подход: в равнобедренном треугольнике BCM, если BC=BM, то углы при основании равны: $$\angle BCM = \angle BMC$$.
Так как BH - высота, то $$\angle BHC = 90^\circ$$.
В треугольнике BHC: $$\angle HBC + \angle BCH = 90^\circ$$.
Так как $$\angle BMC = \angle BCM$$, то $$\angle BMC = \angle BCH$$.
Рассмотрим треугольник ABM. По теореме Пифагора: $$AM^2 = AB^2 - BM^2$$.
Рассмотрим треугольник BHC. По теореме Пифагора: $$BC^2 = BH^2 + HC^2$$.
Из условия BC = BM, имеем: $$BM^2 = BH^2 + HC^2$$.
В треугольнике ABH: $$AB^2 = AH^2 + BH^2$$.
В треугольнике ABM: $$AM^2 = AB^2 - BM^2 = (AH^2 + BH^2) - (BH^2 + HC^2) = AH^2 - HC^2$$.
Так как AM = MC, то $$AM^2 = MC^2$$.
$$MC = MH + HC$$.
$$AM = AC - MC = 73 - MC$$.
$$(73 - MC)^2 = AH^2 - HC^2$$.
$$MC^2 = AH^2 - HC^2$$.
$$73^2 - 2 \times 73 \times MC + MC^2 = AH^2 - HC^2$$.
$$73^2 - 2 \times 73 \times MC + AH^2 - HC^2 = AH^2 - HC^2$$.
$$73^2 - 2 \times 73 \times MC = 0$$.
$$73^2 = 2 \times 73 \times MC$$.
$$MC = \frac{73^2}{2 \times 73} = \frac{73}{2} = 36.5$$.
Так как AM = MC, то AM = 36.5.
AH = AM + MH.
HC = MC - MH.
$$AC = AM + MC = 36.5 + 36.5 = 73$$.
В треугольнике BHC, BC = BM.
В равнобедренном треугольнике BCM, $$BC = BM$$.
Высота BH, медиана BM.
Рассмотрим треугольник ABM. $$AM = MC = 73/2 = 36.5$$.
Рассмотрим треугольник BHC. $$BC^2 = BH^2 + HC^2$$.
Рассмотрим треугольник ABH. $$AB^2 = AH^2 + BH^2$$.
$$AB^2 = AC^2 - BC^2$$.
$$AH^2 + BH^2 = (AM + MH)^2 = AM^2 + 2 \times AM \times MH + MH^2$$.
$$BC^2 = BM^2 = BH^2 + HC^2 = BH^2 + (MC - MH)^2 = BH^2 + MC^2 - 2 \times MC \times MH + MH^2$$.
$$AB^2 = BM^2$$ - это неверно.
Из условия $$BC = BM$$. Треугольник BCM равнобедренный. $$\angle BCM = \angle BMC$$.
Так как BH - высота, $$\angle BHC = 90^\circ$$.
В прямоугольном треугольнике BHC: $$BC^2 = BH^2 + HC^2$$.
В прямоугольном треугольнике ABH: $$AB^2 = AH^2 + BH^2$$.
$$AB^2 = AC^2 - BC^2 = 73^2 - BC^2$$.
$$AH^2 + BH^2 = 73^2 - BC^2$$.
$$AH^2 + BH^2 = 73^2 - (BH^2 + HC^2)$$.
$$AH^2 + 2BH^2 + HC^2 = 73^2$$.
$$AM = MC = 36.5$$.
$$AH = AM - MH = 36.5 - MH$$.
$$HC = MC - MH = 36.5 - MH$$.
$$AH = HC$$.
Если AH = HC, то H - середина AC, что невозможно, так как BH - высота, а не медиана.
AH = AM - MH. HC = MC - MH.
AM = MC = 36.5.
AH = 36.5 - MH. HC = 36.5 - MH.
Это означает, что AH = HC.
Если AH = HC, то H - середина AC. Тогда BH - и медиана, и высота, что возможно только если треугольник ABC равнобедренный (AB=BC).
Но нам дано BC = BM.
Рассмотрим треугольник BCM. BC = BM. $$\angle BCM = \angle BMC$$.
Рассмотрим треугольник ABM. BM - медиана. $$AM = 36.5$$.
В треугольнике BHC: $$BC^2 = BH^2 + HC^2$$.
В треугольнике ABH: $$AB^2 = AH^2 + BH^2$$.
$$AB = AC - BC$$. Неверно.
$$AB^2 = 73^2 - BC^2$$.
$$AH^2 + BH^2 = 73^2 - BC^2$$.
$$AH^2 + BH^2 = 73^2 - (BH^2 + HC^2)$$.
$$AH^2 + 2BH^2 + HC^2 = 73^2$$.
$$AH = AM - MH = 36.5 - MH$$.
$$HC = MC - MH = 36.5 - MH$$.
$$AH = HC$$.
Тогда $$36.5 - MH = MC - MH \rightarrow AH = HC$$
$$AH = 36.5 - MH$$. $$HC = 36.5 - MH$$.
$$AH = HC$$.
$$AC = AH + HC = 2AH = 73$$.
$$AH = 73/2 = 36.5$$.
$$HC = 36.5$$.
$$AC = AH + HC = 36.5 + 36.5 = 73$$.
Если AH = HC, то H - середина AC. BH - медиана.
Но BH - высота. Значит AB = BC.
Но нам дано BC = BM.
Следовательно, AB = BC = BM.
Если AB = BC, то треугольник ABC равнобедренный.
Если AB = BC, то медиана BM является и высотой, и биссектрисой.
Значит BM $$\perp$$ AC.
Но BH $$\perp$$ AC.
Следовательно, M и H совпадают.
Если M и H совпадают, то медиана BM является высотой BH.
Значит, AH = 0.
Но это возможно только если A совпадает с H.
Рассмотрим треугольник BCM. BC = BM.
$$AC = 73$$. $$AM = MC = 36.5$$.
$$BC = BM$$. \(\angle BCM = \angle BMC\).
$$BH \perp AC$$. \(\angle BHC = 90^\circ\).
$$BC^2 = BH^2 + HC^2$$.
$$BM^2 = BH^2 + MH^2$$.
Так как $$BC = BM$$, то $$BH^2 + HC^2 = BH^2 + MH^2$$.
$$HC^2 = MH^2$$.
$$HC = MH$$ (так как длины положительные).
$$AC = AM + MC = 73$$. $$AM = MC = 36.5$$.
$$HC = MC - MH = 36.5 - MH$$.
$$MH = 36.5 - MH$$.
$$2MH = 36.5$$.
$$MH = 36.5 / 2 = 18.25$$.
$$HC = 36.5 - 18.25 = 18.25$$.
$$AH = AM - MH = 36.5 - 18.25 = 18.25$$.
Итак, $$AH = 18.25$$.

Ответ: 18,25

Поделись с друзьями