Так как ABCD — трапеция, то основания AD и BC параллельны.

Рассмотрим плоскость, проходящую через прямую AD и точку K. Обозначим её пересечение с отрезком MC через H.
Введём координаты: пусть плоскость трапеции имеет уравнение z = 0, а основания AD и BC направлены вдоль оси x. Тогда можно записать:
\(B=(b,h,0)\), \(C=(b+12,h,0)\), \(M=(m,n,p)\), где \(p\ne0\).
Поскольку K — середина BM, имеем
\[K=\left(\frac{b+m}{2},\frac{h+n}{2},\frac p2\right).\]
Любая точка плоскости ADK удовлетворяет условию
\[z(h+n)-yp=0,\]
поскольку плоскость содержит прямую AD и точку K.
Пусть \(H\) делит отрезок MC в отношении, задаваемом параметром \(t\):
\[H=M+t(C-M).\]
Тогда координаты точки H по переменным \(y,z\) равны
\[y=n+t(h-n),\qquad z=p(1-t).\]
Подставим их в уравнение плоскости ADK:
\[p(1-t)(h+n)-p\bigl(n+t(h-n)\bigr)=0.\]
После упрощения получаем
\[ph(1-2t)=0.\]
Так как \(p\ne0\) и \(h\ne0\), то \(t=\frac12\). Следовательно, H — середина отрезка MC.
В треугольнике BMC точки K и H являются серединами сторон BM и MC. По теореме о средней линии треугольника
\[KH\parallel BC,\qquad KH=\frac12BC.\]

Следовательно,

\[KH=\frac12\cdot12=6\text{ см}.\]

Ответ: плоскость ADK пересекает отрезок MC в его середине H; \(KH=6\) см.

Поделись с друзьями