Решение:

Для нахождения площади треугольника, изображённого на клетчатой бумаге, можно использовать формулу площади треугольника \( S = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высота \) или метод подсчёта полных и половинчатых клеток.

Метод 1: Подсчёт клеток.

За основание возьмём самую длинную сторону треугольника, расположенную горизонтально. Её длина равна 4 клеткам.

Высота, опущенная на это основание, также равна 4 клеткам.

Площадь треугольника равна:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8 \]Метод 2: Вычитание площадей.

Достроим треугольник до прямоугольника, вписав его в сетку. Одна вершина находится в точке (1,1), другая в (5,5), третья в (1,5). Площадь такого прямоугольника равна \( 4 \times 4 = 16 \) клеток.

Теперь вычтем площади трёх прямоугольных треугольников, которые образуют «лишние» части прямоугольника:

Треугольник 1 (внизу слева): катеты 3 и 1. Площадь \( \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 1 = 1.5 \).
Треугольник 2 (внизу справа): катеты 1 и 4. Площадь \( \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 4 = 2 \).
Треугольник 3 (сверху): катеты 4 и 1. Площадь \( \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 1 = 2 \).

Общая площадь «лишних» треугольников:

\[ 1.5 + 2 + 2 = 5.5 \]

Площадь искомого треугольника:

\[ S = 16 - 5.5 = 10.5 \]

Примечание: При более внимательном рассмотрении рисунка, стороны треугольника проходят через точки:

(1,1)
(5,1)
(3,5)

Метод 3: Применение формулы площади по координатам вершин.

Формула площади треугольника по координатам вершин \( (x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3) \) равна:

\[ S = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| \]

Подставим координаты вершин: \( (1,1), (5,1), (3,5) \):

\[ S = \frac{1}{2} |1(1 - 5) + 5(5 - 1) + 3(1 - 1)| \]\[ S = \frac{1}{2} |1(-4) + 5(4) + 3(0)| \]\[ S = \frac{1}{2} |-4 + 20 + 0| \]\[ S = \frac{1}{2} |16| \]\[ S = 8 \]Ответ: 8

Поделись с друзьями