Рассмотрим произвольный элемент области, содержащей множества \(A\), \(B\) и \(C\). Разность множеств означает: \(x \in A \setminus B\) тогда и только тогда, когда \(x \in A\) и \(x \notin B\). По этим условиям определяем области, которые следовало бы заштриховать на диаграммах Эйлера — Венна.

а) Левая часть задаёт элементы \(A\), не принадлежащие ни \(B\), ни \(C\): \((A \setminus B) \setminus C = A \setminus (B \cup C)\). Правая часть \(A \setminus (B \setminus C)\) содержит элементы из \(A\), которые либо не входят в \(B\), либо входят в \(C\). Эти области в общем случае различны. Например, если \(x \in A \cap B \cap C\), то \(x\) не входит в левую часть, но входит в правую. Равенство неверно.
б) Левая часть состоит из элементов \(A\), не принадлежащих ни \(B\), ни \(C\). В правой части достаточно не принадлежать хотя бы одному из множеств \(B\), \(C\). Например, элемент из \(A \cap B\), не принадлежащий \(C\), не входит в левую часть, но входит в \(A \setminus C\), а значит, и в правую. Равенство неверно.
в) Принадлежность левой части означает \(x \in A\), \(x \notin B\) и \(x \notin C\). Это в точности означает, что \(x\) входит одновременно в \(A \setminus B\) и \(A \setminus C\). Следовательно, обе части задают одну и ту же область диаграммы: элементы \(A\) вне \(B\) и \(C\). Равенство верно.
г) Левая часть содержит элементы \(A\), не принадлежащие одновременно \(B\) и \(C\). Правая часть содержит элементы \(A\), не принадлежащие ни \(B\), ни \(C\). Например, элемент \(x \in A \cap B\), но \(x \notin C\), входит в левую часть, однако не входит в \(A \setminus B\), а значит, не входит и в правую. Равенство неверно.
д) Элемент входит в левую часть, если он принадлежит \(A\) и не входит одновременно в \(B\) и \(C\), то есть не принадлежит хотя бы одному из этих множеств. Это равносильно принадлежности \((A \setminus B) \cup (A \setminus C)\). На диаграмме обе части задают элементы \(A\), за исключением области \(B \cap C\). Равенство верно.

Ответ: равенства верны в пунктах в) и д); в пунктах а), б) и г) они неверны.

Поделись с друзьями