а) По правилу Крамера.

Матрица коэффициентов и столбец свободных членов:

\[A=\begin{pmatrix}1&3&-4\\2&-1&3\\-1&1&-3\end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}2\\-3\\2\end{pmatrix}.\]

Определитель системы:

\[\Delta=\begin{vmatrix}1&3&-4\\2&-1&3\\-1&1&-3\end{vmatrix}=9-4=5.\]

Так как \(\Delta\ne0\), система имеет единственное решение. Вычислим определители, заменяя по очереди столбцы матрицы \(A\) столбцом свободных членов:

\[\Delta_1=\begin{vmatrix}2&3&-4\\-3&-1&3\\2&1&-3\end{vmatrix}=-5,\quad \Delta_2=\begin{vmatrix}1&2&-4\\2&-3&3\\-1&2&-3\end{vmatrix}=5,\quad \Delta_3=\begin{vmatrix}1&3&2\\2&-1&-3\\-1&1&2\end{vmatrix}=0.\]

По формулам Крамера:

\[x_1=\frac{\Delta_1}{\Delta}=-1,\qquad x_2=\frac{\Delta_2}{\Delta}=1,\qquad x_3=\frac{\Delta_3}{\Delta}=0.\]

б) Методом Гаусса.

Запишем расширенную матрицу системы и выполним элементарные преобразования строк:

\[\left(\begin{array}{rrr|r}1&3&-4&2\\2&-1&3&-3\\-1&1&-3&2\end{array}\right)\xrightarrow{R_2-2R_1,\ R_3+R_1}\left(\begin{array}{rrr|r}1&3&-4&2\\0&-7&11&-7\\0&4&-7&4\end{array}\right).\]

Чтобы получить целые коэффициенты в последней строке, умножим вторую строку на 4, третью — на 7 и сложим их:

\[4R_2+7R_3=(0,0,-5\mid 0),\quad\text{откуда }x_3=0.\]

Из третьей строки исходной ступенчатой матрицы получаем \(4x_2-7x_3=4\), значит \(x_2=1\). Из первой строки: \(x_1+3x_2-4x_3=2\), поэтому \(x_1=-1\).

в) С помощью обратной матрицы.

Для матрицы коэффициентов \(\det A=5\), поэтому обратная матрица существует. Матрица алгебраических дополнений равна \(\begin{pmatrix}0&3&1\\5&-7&-4\\5&-11&-7\end{pmatrix}\), следовательно,

\[A^{-1}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}0&5&5\\3&-7&-11\\1&-4&-7\end{pmatrix}.\]

Используем формулу \(x=A^{-1}b\):

\[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}0&5&5\\3&-7&-11\\1&-4&-7\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\-3\\2\end{pmatrix}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}-5\\5\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}.\]

Проверка: \(-1+3\cdot1-4\cdot0=2\), \(2\cdot(-1)-1+3\cdot0=-3\), \(-(-1)+1-3\cdot0=2\).

Ответ: \(x_1=-1,\ x_2=1,\ x_3=0\).

Поделись с друзьями