Решение уравнения а):

Для начала приведем все знаменатели к общему виду. Заметим, что

4y^2 + y = y(4y + 1)
16y^2 - 1 = (4y - 1)(4y + 1)

Теперь уравнение выглядит так:

\[ \frac{3y + 2}{y(4y + 1)} + \frac{y-3}{(4y - 1)(4y + 1)} = \frac{3}{4y - 1} \]

Общий знаменатель для всех дробей — y(4y - 1)(4y + 1).

Умножим каждую часть уравнения на общий знаменатель:

\[ (3y + 2)(4y - 1) + (y-3)(4y+1) = 3y(4y + 1) \]

Раскроем скобки:

\[ (12y^2 - 3y + 8y - 2) + (4y^2 + y - 12y - 3) = 12y^2 + 3y \]

\[ 12y^2 + 5y - 2 + 4y^2 - 11y - 3 = 12y^2 + 3y \]

Приведем подобные слагаемые:

\[ 16y^2 - 6y - 5 = 12y^2 + 3y \]

Перенесем все члены в левую часть:

\[ 16y^2 - 12y^2 - 6y - 3y - 5 = 0 \]

\[ 4y^2 - 9y - 5 = 0 \]

Решим квадратное уравнение. Дискриминант D = b^2 - 4ac:

\[ D = (-9)^2 - 4(4)(-5) = 81 + 80 = 161 \]

Корни уравнения:

\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 \pm \sqrt{161}}{8} \]

Таким образом, решения для уравнения а): y1 = \(\frac{9 + \sqrt{161}}{8}\) и y2 = \(\frac{9 - \sqrt{161}}{8}\).

Решение уравнения б):

Заметим, что выражение x^2 + 3x повторяется в обоих множителях. Сделаем замену переменной. Пусть t = x^2 + 3x.

Тогда уравнение примет вид:

\[ (t + 1)(t - 9) = 171 \]

Раскроем скобки:

\[ t^2 - 9t + t - 9 = 171 \]

Приведем подобные слагаемые:

\[ t^2 - 8t - 9 = 171 \]

Перенесем все в левую часть:

\[ t^2 - 8t - 9 - 171 = 0 \]

\[ t^2 - 8t - 180 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение относительно t. Дискриминант D = b^2 - 4ac:

\[ D = (-8)^2 - 4(1)(-180) = 64 + 720 = 784 \]

Найдем корни для t:

\[ t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{784}}{2} = \frac{8 \pm 28}{2} \]

Два возможных значения для t:

t1 = \(\frac{8 + 28}{2} = \frac{36}{2} = 18\)
t2 = \(\frac{8 - 28}{2} = \frac{-20}{2} = -10\)

Теперь вернемся к исходной переменной x, подставив найденные значения t.

Случай 1: t = 18

\[ x^2 + 3x = 18 \]

\[ x^2 + 3x - 18 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант D = b^2 - 4ac:

\[ D = 3^2 - 4(1)(-18) = 9 + 72 = 81 \]

Корни для x:

\[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{81}}{2(1)} = \frac{-3 \pm 9}{2} \]

x1 = \(\frac{-3 + 9}{2} = \frac{6}{2} = 3\)
x2 = \(\frac{-3 - 9}{2} = \frac{-12}{2} = -6\)

Случай 2: t = -10

\[ x^2 + 3x = -10 \]

\[ x^2 + 3x + 10 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант D = b^2 - 4ac:

\[ D = 3^2 - 4(1)(10) = 9 - 40 = -31 \]

Так как дискриминант отрицательный (D < 0), это уравнение не имеет действительных корней.

Ответ:

а) y = \(\frac{9 \pm \sqrt{161}}{8}\)

б) x = 3, x = -6

Поделись с друзьями