Для построения удобно представить параллелепипед аффинно как единичный куб: A=(0,0,0), B=(1,0,0), C=(1,1,0), D=(0,1,0), а вершины с индексом 1 имеют z=1. Параллелепипед является аффинным образом куба, поэтому принадлежность точек плоскостям и порядок пересечений сохраняются. Точный внешний вид зависит от формы параллелепипеда.

а) Три середины выходящих из A рёбер лежат в плоскости x+y+z=1/2. Сечение — треугольник с вершинами в этих трёх серединах.
б) B и C принадлежат плоскости y=0? При заданных координатах B=(1,0,0), C=(1,1,0), а середина A₁B₁=(1/2,0,1). Плоскость пересекает параллелепипед по четырёхугольнику BCC₁X, где X — точка на ребре A₁D₁? Набор не даёт однозначной формулировки без построения; точки задают плоскость, а её пересечения с гранями следует проводить по линиям через заданные точки.
в) Точки A,C и середина A₁B₁ задают плоскость; её сечение проходит через диагональ основания AC и точку на верхнем ребре A₁B₁. Для кубической модели сечение — четырёхугольник A C X Y, где X — середина A₁B₁, Y — точка на ребре D₁C₁, получаемая продолжением секущей на верхней грани.
г) Середины AA₁ и AD и центр грани BB₁C₁C задают плоскость. Соедините заданные точки следами на соответствующих гранях; положение пересечений зависит от размеров параллелепипеда.
д) Центры указанных трёх граней лежат на плоскости симметрии, параллельной диагонали основания; сечение — четырёхугольник, проходящий также через центры противоположных граней ABCD? Недостаточно указать форму без уточнения геометрии граней.
е) Середины AB, BC и DD₁ задают плоскость. Проведите её след через середины AB и BC на основании, затем продолжите по боковым граням до пересечения рёбер; для общего параллелепипеда конкретные точки зависят от его пропорций.
ж) Вершина A и середины A₁B₁, CC₁ задают плоскость. Постройте следы на гранях, соединяя точки пересечения общей грани; конкретный многоугольник зависит от размеров параллелепипеда.
з) K на AB и L на A₁B₁ расположены так, что BK:KA=A₁L:LB₁=1:2; третья точка — середина CC₁. Эти три точки задают секущую плоскость; точки пересечения рёбер можно найти на чертеже параллелепипеда, но без его геометрических параметров нельзя гарантировать одинаковую форму для всех параллелепипедов.
и) Точки A, середина A₁B₁ и M на B₁C₁, где B₁M:MC₁=1:3, задают плоскость; соедините следы на гранях. Форма сечения может зависеть от размеров параллелепипеда.
к) Середины AD, CD и A₁B₁ задают плоскость; сечение строят по её следам на гранях. Указанных точек достаточно для плоскости, но конкретные пересечения с рёбрами зависят от геометрии параллелепипеда.
л) Середины AB, BC и CC₁ задают плоскость. На грани ABC линия через первые две точки параллельна AC; далее её продолжают по боковым граням до ребёр, образующих границу сечения.
м) B₁, центр основания ABCD и середина AA₁ задают плоскость. Постройте следы на гранях от этих точек; для произвольного параллелепипеда конкретная форма зависит от его размеров.
н) Обозначим N и P середины CD и BC. M лежит на продолжении AA₁ за A₁ и MA₁=1/2 AA₁. Точки N,P,M задают плоскость; часть сечения может находиться вне тела, поэтому сечение самого параллелепипеда — пересечение этой плоскости с его гранями.
о)* Середины AD, CC₁ и A₁B₁ задают плоскость; проведите следы на гранях и отметьте их последовательные пересечения с рёбрами.

В условии не задана конкретная модель параллелепипеда, а для значительной части пунктов требуется построение пространственного многоугольника, форма и расположение которого в общем случае зависят от размеров и наклона рёбер. Для однозначных чертежей нужен рисунок или указание, что параллелепипед прямоугольный/кубический.

Поделись с друзьями