Противоположный вектор:

Вектор, противоположный данному вектору а, — это вектор, имеющий такую же длину, как и вектор а, но противоположное направление. Он обозначается как -а.

Теорема о разности векторов:

Формулировка: Разность двух векторов равна сумме первого вектора и вектора, противоположного второму.

Теорема: Для любых двух векторов а и b справедливо равенство: а - b = а + (-b).

Доказательство:

Мы знаем, что разность векторов а - b — это такой вектор, который в сумме с вектором b дает вектор а:

(а - b) + b = а

Теперь рассмотрим выражение а + (-b).

По определению противоположного вектора, вектор -b имеет ту же длину, что и b, но противоположное направление.

Сложим вектор а с вектором -b:

а + (-b)

Из определения разности векторов (а - b) мы знаем, что это вектор, который при сложении с b дает а. Также, как мы выяснили ранее, разность а - b можно построить, отложив от конца вектора b вектор а (при условии, что оба вектора имеют общее начало). Это эквивалентно откладыванию вектора а от конца вектора b.

Рассмотрим сумму а + (-b). Используя правило треугольника, мы откладываем вектор -b от конца вектора а. Результатом будет вектор, идущий от начала а к концу -b.

Альтернативное доказательство:

Пусть векторы а и b отложены от общей точки О. Пусть конец вектора а — точка А, а конец вектора b — точка В.

Вектор а = ОА.
Вектор b = ОВ.
Вектор а - b = ВА (вектор от конца b к концу а).
Вектор -b = ВО (вектор от конца b к началу О).
Теперь рассмотрим сумму а + (-b):
а + (-b) = ОА + ВО.
По правилу треугольника, сумма ОА + ВО равна вектору, идущему от начала первого вектора (О) к концу второго вектора (О). Это неверно.
Правильно: а + (-b) = ОА + ВО. Если отложить ОА, а затем от конца А отложить ВО, то мы получим вектор, идущий от О к О, что является нулевым вектором. Это не соответствует а-b.
Попробуем иначе: а + (-b). Пусть векторы а и b отложены от общей точки О. Тогда вектор а - b — это вектор, идущий от конца b к концу а. Вектор -b имеет то же начало, что и b (точка О), но противоположное направление, и ту же длину.
Сумма а + (-b): отложим а от О. Затем от конца а отложим -b. Куда он придет?
Вернемся к определению: с = а - b тогда, когда с + b = а.
Рассмотрим а + (-b). Мы хотим показать, что (а + (-b)) + b = а.
Используя сочетательный закон: а + ((-b) + b) = а + 0 = а.
Так как (а + (-b)) + b = а, то по определению разности векторов, вектор а + (-b) является разностью а - b.

Вывод: Теорема доказана.

Поделись с друзьями